組合幾何中的平面有限點集問題.pdf

1、設P為無三點共線的平面有限點集.P的內(nèi)點是指P中不落在其凸包CH(P))邊界上的點.P的全部內(nèi)點所成的集合記為I(P)，V(P)=P\I(P)稱為P的頂點集. 閉集T1，T2，…稱為T的鋪砌元.T中任意有限個鋪砌元(其中至少有兩個互異)的交或為空，或為由孤立點與線段構(gòu)成的集合.交點稱為鋪砌的頂點，交線段稱為鋪砌的邊.邊對邊鋪砌足指下述類型的鋪砌：每個鋪砌元是多邊形且任二相鄰的鋪砌元的交是一條完整的鋪砌邊.如果鋪砌中圍繞一頂點的鋪

2、砌元按環(huán)形循序是n1-邊形，n2-邊形等等，則稱該頂點屬[n1.n2…]型.以正多邊形為鋪砌元且所有頂點屬同一類型的鋪砌恰好有11種，這11種鋪砌統(tǒng)稱為阿基米德鋪砌.頂點類型為[n1.n2……nr]的阿基米德鋪砌稱為[nl.n2.……nr]鋪砌. 設H為[6.6.6]鋪砌的頂點集.[6.6.6}鋪砌是由邊長為單位長度的正六邊形構(gòu)成的.H中的點稱為H-點，頂點落在H中的簡單多邊形稱為H-多邊形.Reay與Ding于1987年提出并

3、解決了若干有關(guān)H-多邊形的計數(shù)問題.近年來Kotodziejczyk在相關(guān)問題研究中獲得了一系列深刻的結(jié)果，并就H-多邊形P的邊界H-點數(shù)b(P)與內(nèi)部H-點數(shù)i(P)的關(guān)系提出猜想b(P)≤3i(P)+7.2004年Kotodziejczyk證得如下結(jié)果：恰含一個內(nèi)部H-點的H-三角形△的邊界H-點數(shù)b(△)∈{3，4，5，6，7，8，10}. 本文推廣Kolodziejczyk的結(jié)果，證得恰含k個內(nèi)部H-點的H-三角形的邊界

4、H-點的個數(shù)至多為3k+7,并由此提出了兩個很有意義的猜想. 稱平面上的有限點集P為k-等腰集，若對任一k-子集EcP，E中存在三個點，其中一點至其他兩點的距離相等. 1998年Fishburn對k=3，4的情形進行了研究，構(gòu)造出了所有的3-等腰集，給出了4-等腰集的部分結(jié)果，并就4-等腰集提出了6個待解決難題.2002年Xu與Ding對其中的4個問題作出了肯定的回答，給出了完整的結(jié)果. 進一步研究其中的3個問題，獲得了