Hamilton-Jacobi方程與對流擴(kuò)散方程的新算法.pdf

1、本文研究Hamilton-Jacobi方程和對流擴(kuò)散方程的一些新的數(shù)值解法,建立這些方法的穩(wěn)定性和收斂性,并通過大量的數(shù)值實驗對所提出的算法進(jìn)行檢驗.
　　 在第2章基于單調(diào)數(shù)值通量和導(dǎo)數(shù)的分片線性重構(gòu),我們構(gòu)造了一種差分格式-MUSCL格式求解發(fā)展型的Hamilton-Jacobi方程,并且證明了在一維情形下MUSCL格式具有TVB(Total Variational Bounded)穩(wěn)定性.我們還進(jìn)行了大量的數(shù)值實驗,結(jié)果表

2、明MUSCL格式具有二階精度,而且產(chǎn)生的數(shù)值解沒有出現(xiàn)偽振蕩,在類似于角點的間斷處有很好的分辨率.
　　 第3章,我們提出了一種求解任意維數(shù)的靜態(tài)Hamilton-Jacobi方程的松弛型Lax-Friedrichs掃描方法(RLxFSM),該方法是LxFSM格式的一種推廣并包含LxFSM格式作為其特殊情形.我們在RLxFSM格式中,采用SOR迭代取代LxFSM格式中的Gauss-Seidel迭代,當(dāng)松弛因ω=1時即為原來的Lx

3、FSM格式.我們證明RLxFSM格式擁有著名的快速掃描算法[83]的一些重要基本性質(zhì),如非增性和單調(diào)性以及保序性.同時RLxFSM格式繼承了LxFSM格式的最大優(yōu)點,可以處理凸和非凸的Hamiltonian,不管它們是否可微.我們的大量數(shù)值實驗表明當(dāng)ω略大于1時RLxFSM格式的迭代次數(shù)顯著減少.
　　 第4章我們提出了一種LDG(Local Discontinuous Galerkin)和CFEM(ConformingFini

4、te Element Method)相結(jié)合的方法求解對流擴(kuò)散方程,我們稱之為LDG/CFEM耦合方法.其基本思想是將整個求解區(qū)域分為兩個不重疊的子區(qū)域,利用LDG和CFEM算法的優(yōu)點,在解變化較快的區(qū)域采用LDG方法,在解較光滑的區(qū)域采用CFEM方法.LDG/CFEM耦合方法繼承了LDG方法有較好的穩(wěn)定性的特點,同時也擁有CFEM方法計算量較小的優(yōu)點.我們在擬一致網(wǎng)格上建立了該方法的穩(wěn)定性和收斂性的理論,并導(dǎo)出了在相應(yīng)DG范數(shù)下的收斂率

5、為(Ο)(ε1/2+h1/2)hk),其中h為網(wǎng)格尺寸,k為多項式的次數(shù).我們的數(shù)值結(jié)果驗證了本文理論結(jié)果的最優(yōu)性.盡管在本章我們只針對LDG這種特殊情形分析了DG與CFEM耦合方法的穩(wěn)定性和收斂性,但是本章所用的分析方法可以用于分析所有包含在Arnold etal[106]一致分析框架下其它的DG與CFEM相耦合的方法.
　　 第5章我們進(jìn)一步研究第4章提出的L,DG/CFEM耦合方法在Shishkin網(wǎng)格上求解一維對流擴(kuò)散型

6、奇異攝動問題的穩(wěn)定性和一致收斂性.對于線性元情形,我們提出了一個比較簡單的方法證明一致收斂性.即我們不需要采用解的分解技巧,這是一般方法在層自適應(yīng)網(wǎng)格上證明一致收斂性所必需的.基于Tobiska在文獻(xiàn)[91]中介紹的插值算子,我們首次證明了LDG/CFEM耦合方法高階元的一致收斂性.對k≥1元在相應(yīng)DG范數(shù)下的一致收斂率為(Ο)(N-kInkN),其中N為Shishkin網(wǎng)格的自由度.數(shù)值算例驗證了理論結(jié)果的正確性.
　　 第6