保正半群的h(_h)-變換,廣義狄氏型的擾動(dòng)及相關(guān)問(wèn)題的研究.pdf

1、從1957年Doob，L.J.考慮并構(gòu)造條件布朗運(yùn)動(dòng)開(kāi)始(見(jiàn)[30])，Doob-h-變換一直是很多學(xué)者關(guān)心的問(wèn)題(見(jiàn)[6，25，32，36，62，65，66，81]等及其參考文獻(xiàn))。任給一對(duì)L2(E；m)上的有保正性的強(qiáng)連續(xù)壓縮對(duì)偶半群(Tt)t>0和(Tt)t>0，通過(guò)它們的一對(duì)α-過(guò)分函數(shù)h及共軛-α-過(guò)分函數(shù)h對(duì)它們做hh-變換，本文得到一對(duì)L2(E；hh·m)上的強(qiáng)連續(xù)壓縮的次馬氏半群(Tht)t>0和(Tht)t>0(見(jiàn)定理

2、2.2.1，定理2.2.2)，并且得到它們?cè)谛碌目臻gL2(E；hh·m)上是對(duì)偶的(見(jiàn)定理2.2.3)，還分析了它們的無(wú)窮小生成元(見(jiàn)命題2.2.1及命題2.2.2)。特別地，如果(Tt)t>0和(Tt)t>0中的一個(gè)(不妨設(shè)(Tt)t>0)有次馬氏性，則我們得到一對(duì)L2(E；h·m)上的對(duì)偶的強(qiáng)連續(xù)壓縮次馬氏半群(e-αtTt)t>0和(Tht)t>0(見(jiàn)定理2.2.4)。最后在擬正則狄氏型框架下，本文給出了(Tt)t>0和(Tt)t

3、>0在一定意義下結(jié)合一對(duì)右過(guò)程的充要條件為其聯(lián)系的保正型(ε，D(ε))是擬正則的，進(jìn)而得到這對(duì)右過(guò)程在新的測(cè)度hh·m下是弱對(duì)偶的，并且滿足一般的Hunt-假設(shè)：從幾乎所有點(diǎn)出發(fā)都不能立即到達(dá)的集合永遠(yuǎn)不能到達(dá)(即是ε-例外集)(見(jiàn)定理2.2.6)。特別地，當(dāng)(Tt)t>0和(Tt)t>0聯(lián)系著一個(gè)擬正則半狄氏型時(shí)，也有類似的結(jié)果(見(jiàn)定理2.2.7)。
　　 擬正則狄氏型與右過(guò)程的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(見(jiàn)[14，52，53]等)，為研

4、究經(jīng)典的位勢(shì)論及隨機(jī)分析提供了一個(gè)有力的工具。狄氏型的擾動(dòng)以及與之緊密聯(lián)系的算子擾動(dòng)以及廣義Feynman-Kac半群等，一直是國(guó)際上狄氏型及其相關(guān)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。而有關(guān)廣義狄氏型的符號(hào)光滑測(cè)度擾動(dòng)卻一直沒(méi)多少人討論，在這個(gè)問(wèn)題上本文做了一些探討，給出了擾動(dòng)后的二次型仍然是廣義狄氏型的幾個(gè)充分條件(見(jiàn)定理3.2.1，定理3.2.2，定理3.2.3)，以及擾動(dòng)后的廣義狄氏型結(jié)合馬氏過(guò)程的充分條件(見(jiàn)定理3.2.5)。特別地，本文還研究

5、了非對(duì)稱狄氏型擾動(dòng)的相關(guān)問(wèn)題。任給一個(gè)非對(duì)稱的擬正則狄氏型，本文研究了一類特殊的位勢(shì)項(xiàng)，得到它們是擬連續(xù)的，并且刻畫了這類特殊的位勢(shì)項(xiàng)在擾動(dòng)后狄氏型定義域中的充分條件(見(jiàn)定理3.3.1)；然后利用這一結(jié)果直接證明了兩個(gè)常用的轉(zhuǎn)換等式(見(jiàn)命題3.3.1)。
　　 在最后一章中，本文綜合利用h-變換，狄氏型擾動(dòng)以及Girsanov變換三種方法，刻畫了布朗運(yùn)動(dòng)零能量可加泛函的漸近性(見(jiàn)定理4.2.3)。
　　 下面我們按章節(jié)順

6、序簡(jiǎn)單敘述一下本文的主要內(nèi)容。
　　 第一章第一節(jié)敘述本文的研究背景及主要研究結(jié)果；第二節(jié)介紹一些基本概念及一些已有的結(jié)論。
　　 第二章第一節(jié)給出保正型的h-變換的一些最新結(jié)果并引入本文要解決的問(wèn)題。第二節(jié)首先定義了L2(E；m)空間上保正半群(Tt)t>0和(Tt)t>0的hh-變換：容易驗(yàn)證變換后的半群都有次馬氏性，然后我們證明了(Tht)t>0和(Tht)t>0分別是L1(E；hh·m)和L∞(E；hh·m)上的

7、壓縮算子(見(jiàn)命題2.2.1)，再利用Riesz-Thorin插值定理，得到它們都是L2(E；hh·m)上的壓縮算子(見(jiàn)命題2.2.1)，進(jìn)而證明它們都是L2(E；hh·m)上的強(qiáng)連續(xù)壓縮的對(duì)偶半群(見(jiàn)定理2.2.1，定理2.2.2，定理2.2.3)。最后在擬正則狄氏型框架下，本文給出了(Tt)t>0和(Tt)t>0在一定意義下結(jié)合一對(duì)對(duì)偶右過(guò)程的充要條件(見(jiàn)定理2.2.6)。特別地，對(duì)于一對(duì)與擬正則半狄氏型結(jié)合的半群，我們得到了類似的結(jié)

8、果。
　　 第三章研究廣義狄氏型的擾動(dòng)，并探討了非對(duì)稱狄氏型擾動(dòng)后的一類位勢(shì)項(xiàng)的性質(zhì)。第一節(jié)，我們簡(jiǎn)單敘述廣義狄氏型以及非對(duì)稱狄氏型擾動(dòng)的研究背景。第二節(jié)主要研究如下形式的廣義狄氏型的擾動(dòng)：得到當(dāng)μ屬于Hardy-類的光滑測(cè)度時(shí)，擾動(dòng)后的二次型εμ的定義域以及范數(shù)保持不變(見(jiàn)引理3.2.1)，且εμ仍然是廣義狄氏型(見(jiàn)定理3.2.1)；還給出了當(dāng)μ是符號(hào)光滑測(cè)度時(shí)，εμ是廣義狄氏型的充分條件(見(jiàn)定理3.2.3)，及這個(gè)廣義狄氏型

9、結(jié)合右過(guò)程的一個(gè)充分條件(見(jiàn)定理3.2.5)。在第三節(jié)中，設(shè)(X，X)為與擬正則的(非對(duì)稱)狄氏型(ε，D(ε))聯(lián)系的一對(duì)對(duì)偶的馬氏過(guò)程。μ為光滑測(cè)度，對(duì)任意的f∈L2(E；μ)，任意實(shí)數(shù)α，p>0，定義如下位勢(shì)項(xiàng)：我們得到Uα+PμAf以及Uα+PμAf是擬連續(xù)的并且在擾動(dòng)后的狄氏型定義域D(εμ)中(見(jiàn)定理3.3.1)；進(jìn)而利用狄氏型理論得到了兩個(gè)轉(zhuǎn)換等式(見(jiàn)命題3.3.1)，并給出了該結(jié)果的一個(gè)應(yīng)用(見(jiàn)命題3.3.2)：當(dāng)一對(duì)對(duì)

10、偶過(guò)程(X，X)聯(lián)系著一個(gè)狄氏型時(shí)，任給一個(gè)光滑測(cè)度μ及其唯一對(duì)應(yīng)的正的連續(xù)可加泛函At以及At，(Y，Y)是分別由At以及At誘導(dǎo)的(X，X)的時(shí)間變換過(guò)程，則Y和Y是L2(E：μ)上的一對(duì)對(duì)偶的右過(guò)程。
　　 第四章主要給出h-變換以及狄氏型的擾動(dòng)在廣義Feymnan-Kac泛函的漸近性以及對(duì)偶過(guò)程時(shí)間變換等方面的應(yīng)用，得到如下結(jié)果(見(jiàn)定理4.2.3)：如果L-ut是鞅，u有界，▽u∈Kd-1，||E[eM-ut]||q<∞