狄氏型的擾動(dòng)及其對(duì)應(yīng)的位勢(shì)與無(wú)窮小生成元.pdf

1、狄氏型與半群、預(yù)解式的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為我們研究算子半群及其拉普拉斯變換后得到的預(yù)解式的一些性質(zhì)提供了一種便利和可應(yīng)用的工具，而半群及其無(wú)窮小生成元與微分方程之間的密切聯(lián)系也讓我們對(duì)隨機(jī)過(guò)程有了某種更直觀的認(rèn)識(shí)。而有關(guān)Feynman-Kac半群的研究一直以來(lái)都是數(shù)學(xué)和物理學(xué)家們共同感興趣的研究課題。 本文主要討論與廣義的Feynman-Kac半群聯(lián)系的擾動(dòng)型、相應(yīng)的位勢(shì)及以及廣義Feynman-Kac半群的無(wú)窮小生成元(見(jiàn)圖1-3

2、)。定義經(jīng)符號(hào)光滑測(cè)度“擾動(dòng)狄氏型(ε，D(ε))及其半群得到的擾動(dòng)型(ε<'u>，D(ε<'u>))及廣義的Feynman-Kac半裙如下：我們的出發(fā)點(diǎn)是想得到像對(duì)稱狄氏型一樣的結(jié)果：擾動(dòng)型的下半有界與廣義Feynman—Kac半群的強(qiáng)連續(xù)等價(jià)。然而我們發(fā)現(xiàn)非對(duì)稱狄氏型經(jīng)光滑測(cè)度擾動(dòng)后的情況是相當(dāng)復(fù)雜的，具體來(lái)說(shuō)連非對(duì)稱無(wú)窮小生成元的譜分解以筆者的知識(shí)水平都無(wú)從談起。不過(guò)仍然可以得到非對(duì)稱情況下的廣義預(yù)解方程(見(jiàn)引理3．1．1)，本文

3、正是運(yùn)用廣義預(yù)解方程，通過(guò)比較兩個(gè)α-過(guò)分函數(shù)的大小關(guān)系的思想，得到了有關(guān)擾動(dòng)型與相應(yīng)的位勢(shì)以及廣義Feynman-Kac半群的無(wú)窮小生成元之間的關(guān)系。 第一章，我們給出本文涉及到的基本的概念和記號(hào)，描述本文的背景以及主要結(jié)果，并在第二節(jié)中給出一些前人的研究成果。在第二章中我們證明了(ε，D(ε))經(jīng)光滑測(cè)度μ擾動(dòng)后的擾動(dòng)型(ε<'u>，D(ε<'u>))仍是狄氏型(見(jiàn)定理2．2．1)，并得到U<'A>即為與狄氏型(ε

4、<'u>，D(ε<'u>))對(duì)應(yīng)的相對(duì)核(見(jiàn)定理2．2．2)，還得到對(duì)任意的p>0，ε<'pu><,a>作用在U<'ap><,tA>上類似于ε<'a>作用在位勢(shì)函數(shù)U<'a><,A>上以及更一般的一個(gè)結(jié)果(見(jiàn)定理2．3．1以及注2．3．3)。而在第三章中我們主要討論符號(hào)光滑測(cè)度“對(duì)非對(duì)稱狄氏型的擾動(dòng)。與對(duì)稱狄氏型的情況平行，我們得到了U<'a+u>(L<'2>(E；m))D(ε<'u>)的充分條件以及D(L<'u>)在L<'2>(E；m