最終范數(shù)連續(xù)半群的擾動(dòng).pdf

1、本文對(duì)最終范數(shù)連續(xù)半群的擾動(dòng)進(jìn)行比較系統(tǒng)的總結(jié)和研究.該論文主要包括以下兩個(gè)部分： 第一章是預(yù)備知識(shí).本章對(duì)Banach空間中的C0半群給出一個(gè)較完整的介紹，主要包括：引言，算子半群的預(yù)備知識(shí)，算子半群的定義及性質(zhì)，強(qiáng)連續(xù)半群與Hille-Yosida定理，半群表示.其中Hille-Yosida定理是本章的核心部分.這些知識(shí)在第二章中將會(huì)用到. 第二章是最終范數(shù)連續(xù)半群的擾動(dòng).本章系統(tǒng)的總結(jié)了一些已知的擾動(dòng)定理，主要如下

2、： 定理2.3.1.在Banach空間X中，如果T(t)對(duì)于t＞t0≥0是一個(gè)最終范數(shù)連續(xù)半群，其生成元為A，B是一個(gè)緊算子，則A+B生成的半群S(t)對(duì)于t＞t0仍最終范數(shù)連續(xù). 定理2.3.2.在Banach空間X中，設(shè)(A，T(t))∈G(M，ω)，(表示A生成C0半群T(t)，且滿足‖T(t)‖≤Mewt)T(t)是對(duì)t＞0按范數(shù)連續(xù)的，且B是X中的線性算子，若B滿足下列條件之一： (a)B可閉，D(A)

3、()cD(B)，且‖BT(t)x‖≤α(t)‖x‖(x∈D(A)，0·t≤δ)，這里α(·)∈(L1(0，δ))， (b)B∈L(X)(其中L(X)是X上所有有界線性算子組成的集合)，(c)B∈L([D(A)])([D(A)]表示A的定義域D(A)賦以圖范數(shù)構(gòu)成的Banach空間)， 則A+B生成的C0半群對(duì)t＞0亦為范數(shù)連續(xù)的. 定理2.3.3.設(shè)A是Hilbert空間H上的一個(gè)最終范數(shù)連續(xù)半群T(t)(對(duì)t＞

4、t0≥0)的無窮小生成元，B∈([I])A，則由A+B生成的半群S(t)在t＞t0時(shí)按范數(shù)連續(xù).這里， ([I])A={B∈L(H)||Imλ|lim→+∞‖R(λ;A)BR2(入；A)‖=|Imλ|lim+∞‖R2(入；A)BR(λ；A)‖=0}定理2.3.4.A是Hilbert空間H上的一個(gè)最終范數(shù)連續(xù)半群T(t)(對(duì)t＞t0≥0)的無窮小生成元，B是H上一個(gè)有界線性算子，BT(t)=T(t)B，則由A+B生成的半群S(t)

5、當(dāng)t＞t0時(shí)按范數(shù)連續(xù). 下面是作者所做的一些工作： 定理2.3.5.設(shè)A是Hilbert空間H上的一個(gè)線性算子，生成一個(gè)C0半群T(t)滿足‖T(t)‖≤Meωt且當(dāng)t＞t0≥0時(shí)按范數(shù)連續(xù).B是一個(gè)從D(A)到D(A)的線性算子，滿足T(t)B()BT(t)且 ‖Bx‖≤a‖Ax‖+b‖x‖，(A)x∈D(A)， 其中a和b是正常數(shù)，則由A+B生成的C0半群S(t)當(dāng)t＞t0時(shí)按范數(shù)連續(xù). 定

6、理2.3.6.設(shè)T(t)為Hilbert空間H上的C0半群，當(dāng)t＞t0≥0時(shí)按范數(shù)連續(xù)，A為其無窮小生成元.又設(shè)B是A相對(duì)有界的，D(A)()D(B)，T(t)B()BT(t)，且存在δ＞0使得K0＜+∞.這里Kλ=sup{∫δ0e-λt‖BT(t)x‖dt|x∈D(A),‖x‖≤1}，(λ≥0).則當(dāng)2|∈|＜1/limKλ時(shí)，A+εB生成半群TB(t)且TB(t)當(dāng)t＞2t0時(shí)按范數(shù)連續(xù). 推論2.4.1.在Hilbert空

7、間H中，設(shè)(A，T(t))∈G(M，ω)，當(dāng)t＞t0≥0時(shí)最終范數(shù)連續(xù)，且B是X中的線性算子，T(t)B()BT(t)，則以下結(jié)論成立： (a)如果B可閉，D(A)()D(B)，且‖BT(t)x‖≤α(t)‖x‖(x∈D(A)，0＜t≤δ)，這里α(·)∈(L1(0，δ))，則A+B∈G且當(dāng)t＞2t0時(shí)A+B生成的半群TB(t)按按范數(shù)連續(xù). (b)如果B∈L(X)，則A+B∈G(M，ω+M‖B‖)，且當(dāng)t＞2t0時(shí)A+