離散Hamilton系統(tǒng)的極小周期問題.pdf

1、本篇博士學(xué)位論文主要應(yīng)用臨界點(diǎn)理論(包括直接變分法、對(duì)偶變分法、擾動(dòng)技巧、對(duì)偶最小作用原理、極小極大方法和幾何指標(biāo)理論)研究非線性離散Hamilton系統(tǒng)的具有固定極小周期的次調(diào)和解的存在性與多重性．全文由如下四部分組成． 第一章簡(jiǎn)述問題的產(chǎn)生和研究的意義。周期現(xiàn)象普遍存在于自然科學(xué)的各個(gè)研究領(lǐng)域．周期解問題一直是廣大學(xué)者和專家關(guān)注的問題，其中具有極小周期的周期解問題更是吸引著國(guó)內(nèi)外許多著名學(xué)者的注意力．我們對(duì)離散Hamilto

2、n系統(tǒng)與二階差分方程的周期解的研究現(xiàn)狀進(jìn)行回顧，同時(shí)歸納總結(jié)關(guān)于研究微分方程極小周期解的幾種方法．然后，對(duì)本文的主要工作做簡(jiǎn)要介紹． 對(duì)遵從“變分”原理的系統(tǒng)采用變分法，將原系統(tǒng)的極小周期解問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)變分泛函臨界點(diǎn)的相關(guān)問題進(jìn)行研究是解決離散Hamilton系統(tǒng)極小周期解的存在性問題的一種基本方法．第二章采用直接變分法研究離散單擺方程及其推廣形式的具有固定極小周期的次調(diào)和解的存在性，得到一系列全新的結(jié)果． 第三章利用

3、對(duì)偶方法、擾動(dòng)技巧與對(duì)偶最小作用原理研究二階次二次離散Hamilton系統(tǒng)．當(dāng)二階離散Hamilton系統(tǒng)在無窮遠(yuǎn)處滿足次二次增長(zhǎng)條件時(shí)，得到了系統(tǒng)具有任意大極小周期的次調(diào)和解的充分條件，并且考慮了所得次調(diào)和解的一些性質(zhì)．當(dāng)二階離散Hamilton系統(tǒng)在原點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)處滿足次二次增長(zhǎng)條件時(shí)，通過考慮其對(duì)偶變分泛函，得到具有極小周期的次調(diào)和解的存在性結(jié)果． 極大極小方法與幾何指標(biāo)理論是研究泛函臨界點(diǎn)存在性與多重性的強(qiáng)有力的工具．第四

4、章考慮了一階和二階次二次離散Hamilton系統(tǒng).首先采用對(duì)偶變分法，將原系統(tǒng)的周期解問題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶變分泛函的臨界點(diǎn)問題，然后利用極大極小方法與幾何指標(biāo)理論得到一系列具有極小周期的次調(diào)和解的存在性與多重性研究結(jié)果．為研究離散系統(tǒng)的具有極小周期的周期解問題作出了新的嘗試，所得的結(jié)果填補(bǔ)了離散Hamilton系統(tǒng)研究領(lǐng)域的空白，豐富和發(fā)展了離散變分理論． 由于本文成功地運(yùn)用臨界點(diǎn)理論研究了一些離散Hamilton系統(tǒng)的極小周期解問題