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1、本文設(shè)H是弱Hopf代數(shù),其對(duì)極為S,K-代數(shù)A是弱H-雙模代數(shù),在張量積空間A()H上規(guī)定乘法:()a,b∈A,h,g∈H,(a()h)(b()g)=a(h1()b()S(h3))()h2g,且滿足共融關(guān)系式:(^1)1()a()12h=a()h,a()S(12)()(^1)1h=a()h,我們稱此張量積空間A()H是右扭曲弱Smash積,記為A*H。這樣A*H就自然具有了一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu),單位元是1*(^1),右扭曲Smash積A*H作
2、為余代數(shù)是張量積余代數(shù),規(guī)定余乘法和余單位:△*(a*h)=(a1*h1)()(a2*h2),ε*(a*h)=εA(a)εH(h)。我們主要是將右扭曲Smash積A*H在Hopf代數(shù)上的性質(zhì)推廣到弱Hopf代數(shù)上。 在文[13][14][15]的基礎(chǔ)上,我們研究了當(dāng)A是弱雙代數(shù),A*H滿足a()S(h1)*h2=a()S(h2)*h1時(shí),A*H是弱雙代數(shù)的充要條件。即A*H是弱雙代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)以下三個(gè)式子同時(shí)成立: (1)
3、((h1()a()S(h4))1*h2)()((h1()a()S(h4))2*h3)=(11(h1()a1()S(h3))*h211)()(12(h4()a2()S(h6))*h512)(2)εA(a(x1()b()S(x5))(x2y1()c()S(x4y3)))εH(x3y2)=εA(a(x1()b1()S(x3)))εA(b2(y2()c()S(y4)))εH(x2y1)εH(y3)(3)εA(a(x1()b()S(x5))(x2
4、y1()c()S(x4y3)))εH(x3y2)=εA(a(x1()b2()S(x3)))εA(b1(y1()c()S(y3)))εH(x2y4)εH(y2)此時(shí),若A和H都是弱Hopf代數(shù),且滿足:(1)a1(ПLH(h)()SA(a2))=ПLA(a)εH(h)(2)(S(h3)()ПR(a)()S2(h1))*S(h2)h4=11εA(a(h1()12()S(h2))*1則A*H是弱Hopf代數(shù),其中S*(a*h)=(1*SH(h
5、))(SA(a)*1)。仿照Hopf代數(shù),我們定義了H是弱Hopf代數(shù),H在A上的跡函數(shù)l:A()AH,得出H在A上的跡函數(shù)l(a)=l()a是AH-雙模映射。如果l:A()AH是滿射,H是弱Hopf代數(shù),A是弱H-雙模代數(shù),我們得到在A*H中存在一個(gè)非零的冪等元e使得作為代數(shù)有e(A*H)e=AHe≌AH。在弱Hopf代數(shù)中,有這樣一個(gè)等價(jià)條件:H是弱Hopf代數(shù),則H是半單的()存在H的標(biāo)準(zhǔn)化左積分e;即()h∈H,有he=ПLH(
6、h)e,且ПLH(e)=1。利用這個(gè)等價(jià)條件,我們研究了A*H的半單性,即找A*H中的標(biāo)準(zhǔn)化左積分e*q,當(dāng)A*H是弱Hopf代數(shù),e和q分別是A和H的左積分,則e*q是A*H的左積分當(dāng)且僅當(dāng)()∈A,x∈Ha(x1()e()S(x2))*q=ПLA(a)εH(x)e*q。在上述條件下,若e和q分別是A和H的標(biāo)準(zhǔn)化左積分,且滿足ε*(11(e()S((^1)1))*q)=εA(11e)εH((^1)1q),則e*q是A*H的標(biāo)準(zhǔn)化左積分
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