Hopf π-余代數(shù)與π-Smash積.pdf

1、Hopf代數(shù)是代數(shù)學(xué)者感興趣的課題，并被深入研究，得到了許多重要結(jié)果。Hopfπ-余代數(shù)是V.G.Turaev在文獻(xiàn)[15]中引進(jìn)的一類代數(shù)結(jié)構(gòu)，它是Hopf代數(shù)的一種推廣。設(shè)K是一固定的域，π為任意給定的一個(gè)群。域K上的π-余代數(shù)C={Cα}α∈π是一簇向量空間，且存在一個(gè)余乘法△={△α,β∶Cαβ→Cβ(O)}α,β∈π和一個(gè)余單位ε∶C1→K，并且滿足余結(jié)合律和余單位性質(zhì)。π-余代數(shù)H=({Hα}α∈π，△，ε)稱為Hopfπ-

2、余代數(shù)，是指{Hα}α∈π是一簇K-代數(shù)，且存在一簇K-線性映射S={Sα∶Hα→Hα-1}α∈π，S稱為反極元，滿足一系列相容性條件。AlexisVirelizier在文獻(xiàn)[1]中研究了Hopfπ-余代數(shù)的一些基本性質(zhì)，并引入了π-余模等概念，還推廣了擬三角Hopfπ-余代數(shù)的一些重要性質(zhì)。
　　 在Alexis Virelizier關(guān)于Hopfπ-余代數(shù)的研究工作之前，Susan Montgomery在文獻(xiàn)[4]中已經(jīng)研究了

3、Hopf代數(shù)上的模代數(shù)、余模代數(shù)、Smash積代數(shù)，D.E.Radford在文獻(xiàn)[9]中也研究了Smash余積余代數(shù)、Smash雙積等，得到一些重要的結(jié)論。在上述背景下，本文中我們定義了Hopfπ-余代數(shù)H上的π-H-模代數(shù)、π-H-余模余代數(shù)和與它們相關(guān)的π-Smash積A＃H={A＃Hα}α∈π、π-Smash余積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π以及π-Smash雙積A*Hcop等概念。討論了π-Smash積A＃H={A＃Hα

4、}α∈π的K-代數(shù)結(jié)構(gòu)；π-Smash余積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π的π-余代數(shù)結(jié)構(gòu)；給出并證明了π-Smash雙積A*Hcop成為一個(gè)Hopfπ-余代數(shù)的條件。具體的討論步驟安排如下。
　　 第一部分，預(yù)備知識(shí)。主要回顧了π-余代數(shù)、Hopfπ-余代數(shù)、Coopposite Hopfπ-余代數(shù)、π-模及π-余模等有關(guān)概念。
　　 第二部分，首先給出了Hopfπ-余代數(shù)H上的左π-H-模、左π-H-模代數(shù)以及

5、π-Smash積A＃H={A＃Hα}α∈π的定義。證明了本文的第一個(gè)結(jié)論：左π-H-模代數(shù)A與Hopfπ-余代數(shù)H的π-Smash積A＃H={A＃Hα}α∈π是一簇K-代數(shù)，見定義2.3和定理2.4。從而得到在CooppositeHopfπ-余代數(shù)Hcop上的π-Smash積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π上的相應(yīng)結(jié)論，見定理2.5。
　　 第三部分，首先，定義了Hopfπ-余代數(shù)H上的右π-H-余模、右π-H-余模余代數(shù)

6、及π-Smash余積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π等概念。其次，得出并證明了本文的另一個(gè)重要結(jié)論：右π-H-余模余代數(shù)A與Hopfπ-余代數(shù)Hcop的π-Smash余積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π是一個(gè)π-余代數(shù)，見定義3.3和定理3.4。
　　 第四部分，先引入π-Smash雙積A*Hcop的定義，即A*Hcop既是一個(gè)π-Smash積又是一個(gè)π-Smash余積。接著給出并證明了π-Smash雙積A*Hcop