循環(huán)群的超P性及其子集性質(zhì)的研究.pdf

1、循環(huán)群是由群中一元生成的群，循環(huán)群在群中構(gòu)造是最簡(jiǎn)單的，并且也是最基本的。基于循環(huán)群在群中的特殊地位，即有限交換群可以分解為循環(huán)子群的直積。人們?cè)缫殉晒Φ匕蜒h(huán)群的存在問(wèn)題、數(shù)量問(wèn)題、構(gòu)造問(wèn)題研究清楚了，不過(guò)對(duì)于其特殊性質(zhì)、應(yīng)用及其子集的性質(zhì)仍然有廣泛的研究?jī)r(jià)值，而其子集的零和問(wèn)題和完備性問(wèn)題，以及其上和超差集合的構(gòu)造也成為了目前群論研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。本課題旨在專題研究循環(huán)群的性質(zhì)及其子集的性質(zhì)，在前人得到的部分成果的基礎(chǔ)上，吸收一些國(guó)內(nèi)

2、外學(xué)者成功的研究思路和研究方法，進(jìn)行如下的研究和創(chuàng)新： 1.研究了有限群部分元素乘積的問(wèn)題，討論了有限群中一類特殊的有限群-超P-群的存在性。利用元素序列乘積的思想研究有限循環(huán)群的超P性，證明了所有的有限循環(huán)群是超P-群，并給出了一類21階非交換群是超P-群的例子，將超P-群的研究延伸到非循環(huán)群的領(lǐng)域。 2.研究了有限群中的零和問(wèn)題，對(duì)于作為零和加法理論研究的基本定理之一的Erd6s-Ginzburg-Ziv定理，W.D

3、.Gao對(duì)其逆問(wèn)題提出了自己的猜想，并證明了當(dāng)n=p'，p是素?cái)?shù)，ι是大于1的整數(shù)時(shí)猜想成立。本文利用Kneser's定理證明給出W.D.Gao猜想成立的另外一種情況：當(dāng)n=paqβ，其中p、q是互異素?cái)?shù)，且a、β是正整數(shù)。 3.考慮了整數(shù)群的子集自身和及自身差勢(shì)的問(wèn)題，基于對(duì)前人給出的幾類整數(shù)群上和超差集合構(gòu)造的研究，通過(guò)對(duì)兩個(gè)典型有限和超差集合A1=(O,2,3,4,7,11,12,14)和A2=(O,2,3,4,7,9,1

4、3,14,16)的有限分解，即A1={0,2}U{3,7,11，…,4k-1}U{4k,4k+2)U{4}，其中k是不小于3的正整數(shù)；A2={0,2)U{3+6x1+4x2｜O≤x1≤1且0≤x2≤ι-1)U{4ι+8-{0,2))U{4)，其中ι是不小于2的正整數(shù)。給出整數(shù)群上幾類更為廣泛的和超差集合的構(gòu)造，使集合的勢(shì)從有限上升到無(wú)限，并更進(jìn)一步地在有限交換群上探討和超差集合的存在性，拓展了前人的理論研究成果。 本課題通過(guò)研究