一類具臨界指數(shù)的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程解的存在性.pdf

1、本文研究一類分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程｛（-△）su+λA(x)u=|u|2*(s)-2u+f(x,u)， x∈RN(1)u∈Hs(RN)非平凡解的存在性，其中2*(s)=2N/（N-2s）,N＞2s和s∈(0，1).函數(shù)f(x，u)和參數(shù)λ分別滿足相應(yīng)的條件.我們研究以下兩種情形.
　　情形一:當(dāng)f(x，u)=μu，μ∈R，λ＞0時(shí)，得｛（-△）su+λA(x)u=μu+|u|2*(s)-2u, x∈RN(2)u∈Hs（RN）.且A(x

2、)滿足下述條件
　　(A1)A∈C(RN，R)，A≥0，且Ω:=intA-1(0)是一個(gè)帶有光滑邊界的非空有界集，且(Ω)=A-1(0).
　　(A2)存在M0＞0使得L{x∈RN:A(x)≤M0}＜∞，其中L表示RN中的Lebesgue測(cè)度.
　　在方程中s∈(0，1)是固定的，（-△）s是分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子，被定義為-（-△）su（x）=1/2∫RNu(x+y)+u(x-y)-2u(x)/|y|N+2sdy,x∈R

3、N.
　　對(duì)于足夠小的μ和充分大的λ，我們運(yùn)用變分方法證明方程非平凡解的存在性.而且我們還考慮了滿足一定條件下解序列的收斂性，證明其收斂到方程{（-△）su=μu+|u|2*(s)-2uΩ(3)u=0(a)Ω的解.
　　情形二:在(1)中，運(yùn)用變分方法證明當(dāng)f(x，u)關(guān)于u次臨界增長(zhǎng)，λ=1時(shí)的方程{（-△）su+A(x)u=|u|2*(s)-2u+f(x，u）， x∈RN(4)u∈Hs（RN）非平凡解的存在性.