一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

1、第四章 第四章 一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用 一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用本章教學(xué)要求 本章教學(xué)要求1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理.2.熟練掌握會用洛必達法則求未定式的極限.3.掌握利用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法.4.理解函數(shù)的極值概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法，會解簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.5.會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹性及拐點，能描繪簡單函數(shù)的圖形.重點： 重點：微分中值定理，用洛必達法則求未定式的極

2、限，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與圖形凹性及拐點，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法以及求簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.難點： 難點：函數(shù)的最大值與最小值及其應(yīng)用問題.第一節(jié) 第一節(jié) 中值定理與洛必達法則 中值定理與洛必達法則一、羅爾定理 羅爾定理1、羅爾定理 、羅爾定理 羅爾定理 羅爾定理 如果函數(shù) 在團區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點 ) (x f ] [ b a， ） ， （ b a的函數(shù)值相等，即 ，那末在 內(nèi)至少

3、有一點 ，使得函數(shù) 在該點 ) ( ) ( b f a f ? ） ， （ b a ) ( b a ? ?? ? ) (x f的導(dǎo)數(shù)等于零： 。 0 ) ( ? ? ? f幾何解釋 幾何解釋:在曲線弧 AB 上至少有一點 C，在該點處的切線是水平的。證明 證明 由于 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理， ) (x f ) (x f在閉區(qū)間[a,b]上必定取得它的最大值 M 和最小值 m，這樣只有兩種可能

4、情形：（1） 。這時 在區(qū)間[a,b]是必然取相同的數(shù)值 M： 。由此有 ， m M ? ) (x f M x f ? ) ( 0 ) ( ? ? x f因此可以?。╝,b）內(nèi)任意一點作為 而有 。 ? 0 ) ( ? ? ? f（2） 。因為 ，所以 M 和 m 這兩個數(shù)中至少有一個不等于 在區(qū)間 m M ? ) ( ) ( b f a f ? ) (x f[a,b]的端點處的函數(shù)值。為確定起見，不妨設(shè) （如果設(shè) ，證法完全類似） ，

5、那末 ) (a f M ? ) (a f m ?必定在開區(qū)間（a,b）內(nèi)有一點 使 。下面證明 在點 處的導(dǎo)數(shù)等于零： 。 ? M f ? ) (? ) (x f ? 0 ) ( ? ? ? f因為 是開區(qū)間（a,b）內(nèi)的點，根據(jù)假設(shè)可知 存在，即極限 ? ) (? f ?xf x fx ?? ? ?? ?) ( ) ( lim0? ?? ?? ??????10x0 x 1) ( 不存在 ‘ x f③非閉區(qū)間連續(xù), ? ?? ? ???

6、 ? ?0 x 11 x 0 1) ( x x f] [ b a， ] 1 0 [ ， ?2 1 ) ( x x f ? ? ‘ 1 0 ? ? x2、拉格朗日中值定理 、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，那末 ) (x f ] [ b a， ） ， （ b a在 內(nèi)至少有一點 ，使等式 ） ， （ b a ) ( b a ? ?? ?(1) ) )( ( ) ( ) (