習題課 多元函數微分學

1、,第八章,習題課,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一、 基本概念,二、多元函數微分法,三、多元函數微分法的應用,,,多元函數微分法,一、 基本概念,連續(xù)性,偏導數存在,方向導數存在,可微性,,,,1. 多元函數的定義、極限 、連續(xù),定義域及對應規(guī)律,判斷極限不存在及求極限的方法,函數的連續(xù)性及其性質,2. 幾個基本概念的關系,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,機動 目錄

2、 上頁 下頁 返回 結束,1. 討論二重極限,解法1,解法2 令,解法3 令,時, 下列算法是否正確?,分析:,解法1,解法2 令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況,,此法排除了沿曲線趨于原點的情況.,此時極限為 1 .,第二步,未考慮分母變化的所有情況,,解法3 令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,此法忽略了? 的任意性,,極

3、限不存在 !,由以上分析可見, 三種解法都不對,,因為都不能保證,自變量在定義域內以任意方式趨于原點 .,特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標求極限,,但要注意在定義域內 r , ? 的變化應該是任意的.,同時還可看到,,本題極限實際上不存在 .,提示: 利用,故f 在 (0,0) 連續(xù);,知,在點(0,0) 處連續(xù)且偏導數存在 , 但不可微 .,2. 證明:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,而,所以 f 在

4、點(0,0)不可微 !,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 已知,求出 的表達式.,解法1 令,即,,解法2,以下與解法1 相同.,則,且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、多元函數微分法,顯示結構,隱式結構,1. 分析復合結構,(畫變量關系圖),自變量個數 = 變量總個數 – 方程總個數,自變量與因變量由所求對象判定,2. 正確使用求導法則,“分段用乘,分

5、叉用加,單路全導,叉路偏導”,注意正確使用求導符號,3. 利用一階微分形式不變性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,例2. 設,其中 f 與F分別具,解法1 方程兩邊對 x 求導, 得,,有一階導數或偏導數, 求,(99 考研),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,解法2,方程兩邊求微分, 得,化簡,,消去 即可得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,

6、,,例3.設,有二階連續(xù)偏導數, 且,求,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,,,,練習題,1. 設函數 f 二階連續(xù)可微, 求下列函數的二階偏導數,2. 同濟(下) P73 題12,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,解答提示:,第 1 題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,P73 題12 設,求,提

7、示:,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,①,,②,利用行列式解出 du, dv ：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,代入①即得,,,代入②即得,有連續(xù)的一階偏導數 ,,及,分別由下兩式確定,求,又函數,答案:,( 2001考研 ）,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 設,三、多元函數微分法的應用,1.在幾何中的應用,求曲線在切線及法平面,(關鍵: 抓住切向量

8、),求曲面的切平面及法線 (關鍵: 抓住法向量),2. 極值與最值問題,極值的必要條件與充分條件,求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數法),求解最值問題,3. 在微分方程變形等中的應用,最小二乘法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4.在第一卦限作橢球面,的切平面,,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小, 并求切點.,解: 設,切點為,則切平面的法向量為,,即,,切平面方程,,,,機動 目錄 上頁

9、 下頁 返回 結束,,問題歸結為求,在條件,下的條件極值問題 .,設拉格朗日函數,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,切平面在三坐標軸上的截距為,令,,,由實際意義可知,為所求切點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,唯一駐點,例5.,求旋轉拋物面,與平面,之間的最短距離.,解：,設,為拋物面,上任一點，,則 P,的距離為,問題歸結為,約束條件:,目標函數:,,作拉氏函數,機動

10、 目錄 上頁 下頁 返回 結束,到平面,,令,解此方程組得唯一駐點,,由實際意義最小值存在 ,,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,上求一點 , 使該點處的法線垂直于,練習題：,1. 在曲面,并寫出該法線方程 .,提示: 設所求點為,則法線方程為,利用,得,平面,,法線垂直于平面,點在曲面上,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 在第一卦限內作橢球面,的切平面,使與三坐標