多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)(精簡(jiǎn)版)

1、1高等數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)提綱高等數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)提綱第八章多元函數(shù)微分學(xué)本章知識(shí)點(diǎn)本章知識(shí)點(diǎn)(按歷年考試出現(xiàn)次數(shù)從高到低排列):復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（☆☆☆☆☆）條件極值拉格朗日乘數(shù)法（☆☆☆☆）無(wú)條件極值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲線切線（☆☆☆☆）隱函數(shù)（組）求導(dǎo)（☆☆☆）一階偏導(dǎo)數(shù)、全微分計(jì)算（☆☆☆）方向?qū)?shù)、梯度計(jì)算（☆☆）重極限、累次極限計(jì)算（☆☆）函數(shù)定義域求法（☆）1.多元復(fù)合函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)例設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

2、.)cos(sinyxeyxfz??xyzxz?????2及解，yxefxfxz?????????31cosyxyxyxyxeefyffexefyfyxzxyz???????????????????????????????])sin([cos])sin([33323131222析1）明確函數(shù)的結(jié)構(gòu)(樹形圖)這里，那么復(fù)合之后是關(guān)于的二元函數(shù).根據(jù)結(jié)yxewyvxu????cossinzyx構(gòu)圖，可以知道：對(duì)的導(dǎo)數(shù)，有幾條線通到“樹梢”上

3、的，結(jié)果中就應(yīng)該有幾項(xiàng)，而xx每一項(xiàng)都是一條線上的函數(shù)對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的乘積.簡(jiǎn)單的說(shuō)就是，“按線相乘，分線相加”.2）是的簡(jiǎn)寫形式，它們與的結(jié)31ff??)cos(sin)cos(sin31yxyxeyxfeyxf????zzuvwxxyy32）解題步驟：第一步是求出駐點(diǎn)一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；第二步求目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；第三步求出駐點(diǎn)的判別式，判斷是否為極值點(diǎn)以及極大極小.2BAC?2.將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)之和使得為最大.zyxz

4、yxu23?解：令，則)12()(23?????zyxzyxzyxF????????????????????.120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx???解得唯一駐點(diǎn)，故最大值為)246(.691224623max????u析1）題目是為了熟悉條件極值的求法拉格朗日乘數(shù)法.這里拉格朗日函數(shù)也可寫成.)12(lnln2ln3)(???????zyxzyxzyxF?2）由于目標(biāo)函數(shù)是乘積形式，而其和為常數(shù)，可以利用均值不

5、等式62362233342722433327???????????????????????????zyyxxxzyyxxxzyx.691224276????方法較為簡(jiǎn)單，但沒(méi)有拉格朗日乘數(shù)具有一般性.3.求函數(shù)在圓上的最大值與最小值.22yxz??9)2()2(22????yx解先求函數(shù)在圓內(nèi)部可能的極值點(diǎn).令???????0202yzxzyx解得點(diǎn)，而.)00(0)00(?z再求函數(shù)在圓周上的最值.為此做拉格朗日函數(shù)，]9)2()2[