函數(shù)恒成立、能成立問題及課后練習(xí)

1、 函數(shù)專題四 1第 1 頁恒成立、能成立問題專題一、基礎(chǔ)理論回顧1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化： 恒成立 ； ? ? a f x ? ? ? ?max a f x ? ? ? ? ?min a f x a f x ? ? ? 恒成立2、能成立問題的轉(zhuǎn)化： 能

2、成立 ； ? ? a f x ? ? ? ?min a f x ? ? ? ? ?max a f x a f x ? ? ? 能成立3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化： 在 M 上恰成立 的解集為 M ? ? a f x ? ? ? ? a f x ?? ?? ? Ra f x Ma f x C M? ? ? ? ? ? ? ?在上恒成立在上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若 在 D 上恰成立，等價于 在 D 上的最小值 A x f D x ? ? ) ( ,

3、) (x f，若 A x f ? ) ( min在 D 上恰成立，則等價于 在 D 上的最大值 . , D x ? B x f ? ) ( ) (x f B x f ? ) ( max4、設(shè)函數(shù) 、 ，對任意的 ，存在 ，使得 ，則 ? ? x f ? ? x g ? ? b a x , 1 ? ? ? d c x , 2 ? ? ? ? ? 2 1 x g x f ?? ? ? ? x g x f min min ?5、設(shè)函數(shù) 、

4、 ，對任意的 ，存在 ，使得 ，則 ? ? x f ? ? x g ? ? b a x , 1 ? ? ? d c x , 2 ? ? ? ? ? 2 1 x g x f ?? ? ? ? x g x f max max ?6、設(shè)函數(shù) 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，則 ? ? x f ? ? x g ? ? b a x , 1 ? ? ? d c x , 2 ? ? ? ? ? 2 1 x g x f ?? ? ? ? x g x f

5、min max ?7、設(shè)函數(shù) 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，則 ? ? x f ? ? x g ? ? b a x , 1 ? ? ? d c x , 2 ? ? ? ? ? 2 1 x g x f ?? ? ? ? x g x f max min ?8、若不等式 在區(qū)間 D 上恒成立，等價于在區(qū)間 D 上函數(shù) 和圖象在函 ? ? ? ? f x g x ? ? ? y f x ?數(shù) 圖象上方； ? ? y g x ?9、若不等式 在區(qū)

6、間 D 上恒成立，等價于在區(qū)間 D 上函數(shù) 和圖象在函 ? ? ? ? f x g x ? ? ? y f x ?數(shù) 圖象下方； ? ? y g x ?函數(shù)專題四 3第 3 頁，對于任意 ，得 的取值范圍是 ．? ?? ??? ?? ? ?? ?? ??? ? ?? ? ? ?? ?? ???? ?a ba bb ab ahh9443910 11

7、041 410 ) 1 (10 )41 (] 2 , 21 [ ? a b 47 ? b例 3、已知兩函數(shù) ， ，對任意 ，存在 ，使得2 ) ( x x f ? m x gx? ? ?? ? ?? ? 21 ) ( ? ? 2 , 0 1 ? x ? ? 2 , 1 2 ? x，則實數(shù) m 的取值范圍為 ? ? 2 1) ( x g x f ?答案： 41 ? m題型二、更換主元和換元法 題型二、更換主元和換元法

8、例 1、已知函數(shù) 是實數(shù)集 上的奇函數(shù)，函數(shù) 是 ( ) ln( )( x f x e a a ? ? 為常數(shù)） R ? ? ( ) sin g x f x x ? ? ?區(qū)間 上的減函數(shù)，(Ⅰ)求 的值；(Ⅱ)若 上恒成立，求 的取值 ? ? 1,1 ? a ? ?2 ( ) 1 1,1 g x t t x ? ? ? ? ? ? 在 t范圍；(Ⅱ)分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母： 及 ,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另 ? t

9、一個作為常數(shù)。顯然可將 視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在 內(nèi)關(guān)于 的一次函數(shù) ? ? ? , 1 ?? ? ?大于等于 0 恒成立的問題。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知： ， ， 在 上單調(diào) ( ) f x x ? ( ) sin g x x x ? ? ? ? ( ) g x ? ? ? 11 ? ，遞減， 在 上恒成立， ， 只需 ( ) cos 0 g x x ? ? ? ? ? ? cos x ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ，

10、1 ? ? ? ? ， ? ?max ( ) ( 1) sin1 g x g ? ? ? ? ? ? ?， （其中 ）恒成立，由上述②結(jié)論：可令2 sin1 1 t t ? ? ? ? ? ? ?2 ( 1) sin1 1 0 t t ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?,則 ， ，而 恒成立， ? ?2 ( 1) sin1 1 0( 1 f t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 2 t 1 01 sin1 1

11、0 t t? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?21sin1 0tt t? ? ? ?? ? ? ? ? 2 sin1 0 t t ? ? ?。 1 t ? ? ?例 2、已知二次函數(shù) 對 恒有 ，求 的取值范圍。 1 ) ( 2 ? ? ? x ax x f ? ? 2 , 0 ? x 0 ) ( ? x f a解： 對 恒有 即 變形為 ? ? 2 , 0 ? x 0 ) ( ? x f 0 1 2 ? ? ? x ax ) 1