2017第34屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題和答案

1、第 34 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題解答 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題解答2017 2017 年 9 月 16 16 日一、 （40 分）一個(gè)半徑為 、質(zhì)量為 的均質(zhì)實(shí)心小圓柱被置于 r m一個(gè)半徑為 、質(zhì)量為 的薄圓筒中，圓筒和小圓柱的中心軸 R M均水平，橫截面如圖所示。重力加速度大小為 。試在下述兩種 g情形下，求小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近做微振動(dòng)的頻率： （1）圓筒固定，小圓柱在圓筒內(nèi)底部附近作無(wú)滑滾動(dòng)；

2、 （2）圓筒可繞其固定的光滑中心細(xì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小圓柱仍在圓筒內(nèi) 底部附近作無(wú)滑滾動(dòng)。解： （1）如圖， 為在某時(shí)刻小圓柱質(zhì)心在其橫截面上到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾 ?角。小圓柱受三個(gè)力作用：重力，圓筒對(duì)小圓柱的支持力和靜摩擦力。設(shè)圓筒對(duì)小圓柱的 靜摩擦力大小為 ，方向沿兩圓柱切點(diǎn)的切線方向（向右為正） ?？紤]小圓柱質(zhì)心的運(yùn) F動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得① sin F mg ma ? ? ?式中， 是小圓柱質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度。由于小圓柱與圓筒間

3、作無(wú) a滑滾動(dòng)，小圓柱繞其中心軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度 （規(guī)定小圓柱在最低 1 ?點(diǎn)時(shí) ）與 之間的關(guān)系為 1 0 ? ? ?② 1 ( ) R r ? ? ? ? ?由②式得， 與 的關(guān)系為 a ?③2 212 2 ( ) d d a r R r dt dt? ? ? ? ?考慮小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得④212d rF I dt? ? ?式中， 是小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I⑤ 2 12 I mr ?由①②③④⑤式及小角近似⑥ si

4、n? ? ?得⑦222 0 3( )? ? ? ? ?d gdt R r由⑦式知，小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為⑧ 1π 6( )g f R r ? ?（2）用 表示小圓柱與圓筒之間的靜摩擦力的大小， 和 分別為小圓柱與圓筒轉(zhuǎn)過(guò)的 F 1 ? 2 ?角度（規(guī)定小圓柱相對(duì)于大圓筒向右運(yùn)動(dòng)為正方向，開(kāi)始時(shí)小圓柱處于最低點(diǎn)位置 ） 。對(duì)于小圓柱，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得 1 2 0 ? ? ? ?⑨22 1212? ? ? ?

5、 ? ? ? ? ?d Fr mr dt對(duì)于圓筒，同理有⑩22 22 ( ) ? ? d FR MR dtR??1R解： （1）由題設(shè)，彗星的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線，故① 1, 0 E ? ? ?彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道方程為：② 1 cosk r ? ? ?彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒③ ? ?2221 0 2 2L mr V r E mr ? ? ? ? &式中④ ? ? Mm V r G r ? ?當(dāng)彗星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn) A 時(shí)

6、，其徑向速度為零，設(shè)其到太陽(yáng)的距離為 ，由③式得 min r⑤ ? ?2min 2 min min 2L Mm V r G mr r ? ? ?由⑤式和題給條件得⑥2Emin 2 2 3L R r GMm ? ?由③式得22 22 dr GM Ldt r m r ? ?或 ⑦22 22dr dtGM Lr m r??設(shè)彗星由近日點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)到與地球軌道的交點(diǎn) C 所需的時(shí)間為 ，對(duì)⑦式兩邊積分，并利 t ?用⑥式得⑧E EEmin 23

7、 E2 212 23R RR rdr rdr tGM R GM L rr m r? ? ?? ?? ?對(duì)⑧式應(yīng)用題給積分公式得 ⑨EE 3 E3/2 1/2E E EE E3 2 E1231 2 23 3 3 3 210 327RR rdr tGM R rR R R R RGMRGM? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???由對(duì)稱性可知，彗星兩次穿越地球軌道所用的時(shí)間間隔為⑩3 2