2017第34屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題和答案

1、1第34屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題解答屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題解答20172017年9月1616日一、（40分）一個(gè)半徑為、質(zhì)量為的均質(zhì)實(shí)心小圓柱被置于rm一個(gè)半徑為、質(zhì)量為的薄圓筒中，圓筒和小圓柱的中心軸RM均水平，橫截面如圖所示。重力加速度大小為。試在下述兩種g情形下，求小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近做微振動(dòng)的頻率：（1）圓筒固定，小圓柱在圓筒內(nèi)底部附近作無(wú)滑滾動(dòng)；（2）圓筒可繞其固定的光滑中心細(xì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小圓柱仍在

2、圓筒內(nèi)底部附近作無(wú)滑滾動(dòng)。解：（1）如圖，為在某時(shí)刻小圓柱質(zhì)心在其橫截面上到圓筒中心軸的垂線(xiàn)與豎直方向的夾?角。小圓柱受三個(gè)力作用：重力，圓筒對(duì)小圓柱的支持力和靜摩擦力。設(shè)圓筒對(duì)小圓柱的靜摩擦力大小為，方向沿兩圓柱切點(diǎn)的切線(xiàn)方向（向右為正）?？紤]小圓柱質(zhì)心的運(yùn)F動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得①sinFmgma???式中，是小圓柱質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度。由于小圓柱與圓筒間作無(wú)a滑滾動(dòng)，小圓柱繞其中心軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度（規(guī)定小圓柱在最低1?點(diǎn)時(shí)）與之間的關(guān)系為1

3、0???②1()Rr?????由②式得，與的關(guān)系為a?③22122()ddarRrdtdt?????考慮小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得④212drFIdt???式中，是小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I⑤212Imr?由①②③④⑤式及小角近似⑥sin???得⑦22203()?????dgdtRr由⑦式知，小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為⑧1π6()gfRr??（2）用表示小圓柱與圓筒之間的靜摩擦力的大小，和分別

4、為小圓柱與圓筒轉(zhuǎn)過(guò)的F1?2?角度（規(guī)定小圓柱相對(duì)于大圓筒向右運(yùn)動(dòng)為正方向，開(kāi)始時(shí)小圓柱處于最低點(diǎn)位置）。對(duì)于小圓柱，由轉(zhuǎn)動(dòng)定理得120????⑨221212?????????dFrmrdt對(duì)于圓筒，同理有⑩2222()??dFRMRdtR??1R3解：（1）由題設(shè)，彗星的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線(xiàn)，故①10E???彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道方程為：②1coskr???彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒③??2221022LmrVrEmr????&式中④

5、??MmVrGr??當(dāng)彗星運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)A時(shí)，其徑向速度為零，設(shè)其到太陽(yáng)的距離為，由③式得minr⑤??2min2minmin2LMmVrGmrr???由⑤式和題給條件得⑥2Emin223LRrGMm??由③式得2222drGMLdtrmr??或⑦2222drdtGMLrmr??設(shè)彗星由近日點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到與地球軌道的交點(diǎn)C所需的時(shí)間為，對(duì)⑦式兩邊積分，并利t?用⑥式得⑧EEEmin23E221223RRRrdrrdrtGMRGMLrrmr??

6、?????對(duì)⑧式應(yīng)用題給積分公式得⑨EE3E3212EEEEE32E1231223333210327RRrdrtGMRrRRRRRGMRGM???????????????????????????由對(duì)稱(chēng)性可知，彗星兩次穿越地球軌道所用的時(shí)間間隔為⑩32E203227RTtGM???將題給數(shù)據(jù)代入⑩式得?66.4010sT??（2）彗星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒?2102GMmmEr???v式中是彗星離太陽(yáng)的距離為時(shí)的運(yùn)行速度的大小。由?式有v