2018年第35屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論考試試題卷（含答案解析）

1、‐1‐第35屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論考試試題解答屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論考試試題解答2018年9月22日2018年9月22日一、（40分）假設(shè)地球是一個(gè)質(zhì)量分布各向同性的球體，地球自轉(zhuǎn)及地球大氣的影響可忽略。從地球上空離地面高度為h的空間站發(fā)射一個(gè)小物體，該物體相對于地球以某一初速度運(yùn)動，初速度方向與其到地心的連線垂直。已知地球半徑為R，質(zhì)量為M，引力常量為G。（1）若該物體能繞地球做周期運(yùn)動，其初速度的大小應(yīng)滿足什么條件？（2

2、）若該物體的初速度大小為0v，且能落到地面，求其落地時(shí)速度的大小和方向（即速度與其水平分量之間的夾角）、以及它從開始發(fā)射直至落地所需的時(shí)間。已知：對于0c?，240bac????，有??2322d2arcsin2xxabxcxbcxbCccabxcx???????????式中C為積分常數(shù)。參考解答：參考解答：（1）解法（一）解法（一）假設(shè)小物體初始速度大小為0v，在地球引力場中其能量為2012MmEmGRh???v式中m是小物體的質(zhì)量。

3、小物體相對于地球中心的角動量為??0LmRh??v該物體能繞地球做周期運(yùn)動，其能量應(yīng)0E?由此條件以及E的表達(dá)式，得202GMRh??v，即02GMRh??v①物體能繞地球做持續(xù)的周期運(yùn)動，不能墜落到地球表面。當(dāng)物體初始速度0v降低到某個(gè)值0minv時(shí)，物體運(yùn)動的橢圓軌道將與地球表面相切，設(shè)這種情況下物體在與地球表面相切時(shí)的運(yùn)動速度為v，由角動量守恒定律??0minmRhmR??vv，即0minRhR??vv②由能量守恒定律有220mi

4、n1122MmMmmGmGRhR????vv③將②式代入③式得????0min22GMRRhRh???v④當(dāng)物體初速度0v低于0minv時(shí)，其軌道都將與地球表面相交，因此會墜落到地面上。所以物體繞地球作橢圓或圓形軌道運(yùn)動，但不會墜落到地球表面的條件是‐3‐??0220arccosarccos2RhGMRhRRh???????vvvv⑩將物體的運(yùn)動用極坐標(biāo)??t?、??rt描寫，角動量守恒和能量守恒可分別表為??20ddrRht???v?

5、和222201d1d12d2d2rMmMmmrGmGttrRh??????????????????v?消去ddt?得??220202d22dRhrGMGMtrrRh????????vv?物體從開始發(fā)射直至落地需要的時(shí)間為????220202222200d22d22RhRRhRrtRhGMGMrrRhrrGMrGMrRhRh???????????????????????vvvv?取參量??220aRh???v，2bGM?，2020GMcR

6、h????v，有????2222200222042(2)4240bacGMGMRhRhGMRhRh?????????????????????????vvv利用題給積分公式，完成積分得??????????????2020322022200222πarcsin22RhGMRhtRhhGMRhRhRRhGMRhRhGMGMRhGMRhRh????????????????????????????????vvvvv?當(dāng)初始速度大小為臨界值????