2017年第34屆全國中學(xué)生物理競賽決賽真題幾答案

1、1 k02π ? 2π m m 1 ma ? mb k 0a b第34 屆全國中學(xué)生物理競賽決賽試題與參考解答 一 、 （35 分） 如圖，質(zhì)量分別為ma 、mb 的小球a 、 b 放置在光滑絕緣水平面上，兩球之間用一原長為l0 、勁度系數(shù)為k0 的絕緣輕彈簧連接。（1） t ? 0 時(shí)，彈簧處于原長，小球 a 有一沿兩球連線向右的初速度v0 ，小球b 靜止。若運(yùn)動(dòng)過程中彈簧始終處于彈性形變范圍內(nèi)，求兩球在任一時(shí)刻t(t ? 0) 的

2、速度。（2）若讓兩小球帶等量同號電荷，系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧長度為 L0 ，記靜電力常量為 K 。求小球所帶電荷量和兩球與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)做微振動(dòng)的頻率（極化電荷的影響可忽略） 。參考解答：（1）如圖， t 時(shí)刻彈簧的伸長量為u ? l ? l0有d 2u ?dt 2式中? ?? ?k0u ①ma mb ②ma ? mb為兩小球的約化質(zhì)量。由①②式知，彈簧的伸長量u 服從簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，振動(dòng)頻率為f ? ?2π ? ? ③最后一步利

3、用了②式。t 時(shí)刻彈簧的伸長量u 的表達(dá)式為u ? Asin ?t ? B cos?t ④式中 A 、B 為待定常量。t ? 0 時(shí)，彈簧處于原長，即u(0) ? B ? 0將 B ? 0 代入④式得a 相對于b 的速度為u ? Asin ?t ⑤v? ? dra ? drb ? du ? A? cos?t ⑥a dt dt dtt ? 0 時(shí)有?12π?3L ? 2l 0 0 ?? 0 ??L ? 0 k1 ? 3L

4、 ? 2l ? ? m ? m ?2π ? 0 0 ? ? a b ? k? 0 ? ? a b L m m0?L30 L0利用上式，?式可寫為d 2 x ? q2 ? ? q2 ? ?? x ?2 ?? dt2 ? ??k0 (L0 ? l0 ) ? K L2 ? ? ? k0 ? 2K L3 ? x ? O ?? L ? ? ??? x ?2 ?? 0 ? ? 0 ? ?? 0 ? ?略去O ?

5、? L ? ? ，并利用?或?式，?式可寫為?? 0 ? ?d 2 x ? q2 ? 3L ? 2l ? ? ?? k ? 2K ? x ? ? 0 0 k x ?0dt2 ? ??0由?式知， 3L0 ? 2l0 ? 0 ，系統(tǒng)的微振動(dòng)服從簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，振動(dòng)頻率為f ? ? ?最后一步利用了②式。評分參考：第（1）問 24 分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩??式各 2 分；第（2）問 11 分，???式各 2分，?

6、式 1 分，??式各 2 分。二 、 （35 分）雙星系統(tǒng)是一類重要的天文觀測對象。假設(shè)某兩星體均可視為質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量分別為 M 和m ，一起圍繞它們的質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成一雙星系統(tǒng)，觀測到該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T0 。在某一時(shí)刻，M 星突然發(fā)生爆炸而失去質(zhì)量?M 。假設(shè)爆炸是瞬時(shí)的、相對于 M 星是各向同性的，因而爆炸后 M星的殘余體 M ?(M ? ? M ? ?M ) 星的瞬間速度與爆炸前瞬間 M 星的速度相同，且爆炸過程和拋射物質(zhì)