27.2.1 第4課時 兩角分別相等的兩個三角形相似

1、27.2.1 相似三角形的判定 相似三角形的判定 第 4 課時 課時 兩角分別相等的兩個三角形相似 兩角分別相等的兩個三角形相似1．理解“兩角分別相等的兩個三角形相似”的含義，能分清條件和結(jié)論，并能用文字、圖形和符號語言表示；(重點)2．會運用“兩角分別相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似，并解決簡單的問題．(難點)一、情境導(dǎo)入與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′，使得∠A 和∠A ′都等于給定的∠α，∠B 和∠

2、B′都等于給定的∠β，比較你們畫的兩個三角形，∠C 與∠C′相等嗎？對應(yīng)邊的比 ， ， 相等嗎？這樣的兩個三角形相似嗎？和同學(xué)們交流．ABA′B′ACA′C′BCB′C′二、合作探究探究點：兩角分別相等的兩個三角形相似【類型一】 利用判定定理證明兩個三角形相似如圖，在等邊△ABC 中，D 為 BC 邊上一點，E 為 AB 邊上一點，且∠ADE＝60°.(1)求證：△ABD∽△DCE；(2)若 BD＝3，CE＝2，求△ABC 的

3、邊長．解析：(1)由題有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知識得出∠BAD＝∠CDE，即可證明△ABD∽△DCE；(2)根據(jù)△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC 的邊長．(1)證明：在△ABD 中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD 和△DCE 中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；(

4、2)解：設(shè) AB＝x，則 DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴x＝9.ABDCBDDExx－332即等邊△ABC 的邊長為 9.方法總結(jié)：本題主要是利用“兩角分別相等的兩個三角形相似” ，解答此題的關(guān)鍵是利用三角形的外角的知識得出角相等．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練” 第 5 題如圖，在?ABCD 中，過點 B 作 BE⊥CD，垂足為 E，連接 AE，F(xiàn) 為 AE 上一點，且∠BFE＝∠C.若 A

5、B＝8，BE＝6，AD＝7，求 BF 的長．解析：可通過證明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，證得△ABF∽△EAD，可得出關(guān)于AB，AE，AD，BF 的比例關(guān)系．已知 AD，AB 的長，只需求出 AE 的長即可．可在直角三角形 ABE 中用勾股定理求出 AE 的長，進而求出 BF 的長．解：在平行四邊形 ABCD 中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BF

6、E＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.∵BE⊥CD，AB∥CD，∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AE＝ ＝ ＝ AB2＋BE2 82＋6210.∵△ABF∽△EAD，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴BF＝5.6.BFADABAEBF7810方法總結(jié)：相似三角形與四邊形知識綜合時，往往要用到平行四邊形的一些性質(zhì)尋找角的等量關(guān)系證明三角形相似．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第 7 題【類型五】 相似三角形與

7、二次函數(shù)的綜合如圖，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5m，AB＝10m.M 點在線段 CA 上，從 C向 A 運動，速度為 1m/s；同時 N 點在線段 AB 上，從 A 向 B 運動，速度為 2m/s.運動時間為 ts.(1)當(dāng) t 為何值時，△AMN 的面積為 6m2?(2)當(dāng) t 為何值時，△AMN 的面積最大？并求出這個最大值．解析：(1)作 NH⊥AC 于 H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用 t

8、表示出NH，根據(jù)△AMN 的面積為 6m2，得到關(guān)于 t 的方程求得 t 值即可；(2)根據(jù)三角形的面積計算得到有關(guān) t 的二次函數(shù)求最值即可．解：(1)在 Rt△ABC 中，∵AB2＝BC2＋AC2，∴AC＝5 m.如圖，作 NH⊥AC 于 H，∴ 3∠NHA＝∠C＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA∽△BCA，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴NHANABNHBC2t10NH5＝t，∴S△AMN＝ t(5 －t)＝6，解得 t1＝