求證兩角平分線相等的三角形是等腰三角形

1、求證兩角平分線相等的三角形是等腰三角形已知：△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，求證：AB＝AC己知在△ABC中，BECF是∠B，∠C的平分線，BE=CF。求證:AB=AC.證法一設(shè)AB≠AC不妨設(shè)ABAC，這樣∠ACB∠ABC，從而∠BCF=∠FCE=∠ACB2∠ABC2=∠CBE=∠EBF。在△BCF和△CBE中，因?yàn)锽C=BCBE=CF，∠BCF∠CBE.所以BFCE。(1)作平行四邊形BEGF，則∠EBF=∠FGCE

2、G=BFFG=BE=CF，連CG，故△FCG為等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。因?yàn)椤螰CE∠FGE，所以∠ECGEG=BF.(2)顯然(1)與(2)是矛盾的，故假設(shè)AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。證法二在△ABC中，假設(shè)∠B≥∠C，則可在CF上取一點(diǎn)F，使∠FBE=∠ECF，這有CF≥CF。延長(zhǎng)BF交AC于A則由∠BAE=∠CAF有ΔABE∽ΔACF.從而ABAC=BECF≥BECF=1.那么在△ABC中，由AB≥AC，得:∠

3、ACB≥∠ABC，即∠C≥(∠B∠C)2，故∠B≤∠C。再由假設(shè)∠B≥∠C，即有∠B=∠C。所以△ABC為等腰三角形。斯坦納雷米歐司定理:設(shè)在三角形ABC中，有B、C的角平分線CF、BE交于OBE是角平分線推出：BCCE=ABAE，同理：BCBD=ACAD，因?yàn)锽D=CE，所以等量代換得出：OFEABC由斯特瓦爾特定理得：c2(ab(bc))b2(ac(bc))aAD2=aa2bc(bc)2則AD2=bc(1(a(bc)2)三角形ABC