數(shù)學建模m04

1、優(yōu)化建模參考書,優(yōu)化建模與lindo/lingo軟件，謝金星、薛毅編著，清華大學才出版社Lingo和Excel在數(shù)學建模中的應用，袁新生、邵大宏、郁時煉主編，科學出版社現(xiàn)代優(yōu)化計算方法，刑文訓、謝金星編著，清華大學出版社（第二版）網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化，謝金星、邢文訓、王振波編著，清華大學出版社（第二版）,數(shù)學規(guī)劃模型,實際問題中的優(yōu)化模型,x~決策變量,f(x)~目標函數(shù),gi(x)?0~約束條件,多元函數(shù)條件極值,決策變量個數(shù)n和約束條

2、件個數(shù)m較大,最優(yōu)解在可行域的邊界上取得,數(shù)學規(guī)劃,線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃,重點在模型的建立和結(jié)果的分析,企業(yè)生產(chǎn)計劃,4.1 奶制品的生產(chǎn)與銷售,空間層次,工廠級：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃；,車間級：根據(jù)生產(chǎn)計劃、工藝流程、資源約束及費用參數(shù)等，以最小成本為目標制訂生產(chǎn)批量計劃。,時間層次,若短時間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時間變化，可制訂單階段生產(chǎn)計劃，否則應制訂多階段生

3、產(chǎn)計劃。,例1 加工奶制品的生產(chǎn)計劃,50桶牛奶,時間480小時,至多加工100公斤A1,制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大,35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?,可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?,A1的獲利增加到 30元/公斤，應否改變生產(chǎn)計劃？,每天：,x1桶牛奶生產(chǎn)A1,x2桶牛奶生產(chǎn)A2,獲利 24×3x1,獲利 16×4 x2,原料供應,勞動時間,加工能力,決策變量,目標函數(shù),每天

4、獲利,約束條件,非負約束,線性規(guī)劃模型(LP),時間480小時,至多加工100公斤A1,模型分析與假設(shè),比例性,可加性,連續(xù)性,xi對目標函數(shù)的“貢獻”與xi取值成正比,xi對約束條件的“貢獻”與xi取值成正比,xi對目標函數(shù)的“貢獻”與xj取值無關(guān),xi對約束條件的“貢獻”與xj取值無關(guān),xi取值連續(xù),A1,A2每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時間是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),A1,A2每公斤的獲利是與相

5、互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時間是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù),加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實數(shù),,線性規(guī)劃模型,模型求解,圖解法,約束條件,,,,,目標函數(shù),z=c (常數(shù)) ~等值線,在B(20,30)點得到最優(yōu)解,目標函數(shù)和約束條件是線性函數(shù),可行域為直線段圍成的凸多邊形,目標函數(shù)的等值線為直線,最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個頂點取得。,,模型求解,軟件實現(xiàn),LINGO 10.0,Model:Max=72*x1+64*x

6、2;2）x1+x2<50;3）12*x1+8*x2<480;4）3*x1<100;end,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000

7、 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4)

8、 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2,Lingo|Solve,20桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)A2，利潤3360元。,結(jié)果解釋,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1

9、 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0

10、.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2,原料無剩余,時間無剩余,加工能力剩余40,三種資源,“資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）,Model:Max=72*x1+64*x2;2）x1+x2<50;3）12*x1+8*x2<

11、;480;4）3*x1<100;end,結(jié)果解釋,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000

12、 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.00

13、0000 NO. ITERATIONS= 2,最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量,原料增加1單位, 利潤增長48,時間增加1單位, 利潤增長2,加工能力增長不影響利潤,影子價格,35元可買到1桶牛奶，要買嗎？,35 <48, 應該買！,聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？,2元！,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

14、 OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2

15、64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2

16、 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,最優(yōu)解不變時目標函數(shù)系數(shù)允許變化范圍,LINGO

17、|Options…中選擇General Solver,x1系數(shù)范圍(64,96),x2系數(shù)范圍(48,72),A1獲利增加到 30元/千克，應否改變生產(chǎn)計劃,x1系數(shù)由24 ?3=72增加為30?3=90，在允許范圍內(nèi),不變！,(約束條件不變),結(jié)果解釋,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES V

18、ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000

19、 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000

20、 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000,影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍,原料最多增加10,時間最多增加53,35元可買到1桶牛

21、奶，每天最多買多少？,最多買10桶!,(目標函數(shù)不變),例2 奶制品的生產(chǎn)銷售計劃,在例1基礎(chǔ)上深加工,制訂生產(chǎn)計劃，使每天凈利潤最大,30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小時時間，應否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？,50桶牛奶, 480小時,至多100公斤A1,B1，B2的獲利經(jīng)常有10%的波動，對計劃有無影響？,出售x1 千克 A1, x2 千克 A2，,X3千克 B1, x4千克 B2,原料供應,勞動時間,加工能力,決策變量

22、,目標函數(shù),利潤,約束條件,非負約束,x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B2,附加約束,模型求解,軟件實現(xiàn),LINGO 10.0,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2

23、 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW

24、 SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000

25、 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2,,,Lingo|Solve,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000

26、 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.

27、520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 4

28、4.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2,結(jié)果解釋,每天銷售168 千克A2和19.2 千克B1， 利潤3460.8（元）,8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，將得到的24千克A1全部加工成B1,除加工能力外均為緊約束,結(jié)果解釋,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

29、 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000

30、 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000

31、 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000,增加1桶牛奶使利潤增長3.16×12=37.92,,增加1小時時間使利潤增長3.26,30元可增加1桶牛奶，3元可增

32、加1小時時間，應否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？,投資150元增加5桶牛奶，可賺回189.6元。（大于增加時間的利潤增長）,結(jié)果解釋,B1,B2的獲利有10%的波動，對計劃有無影響,RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWA

33、BLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.

34、000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000

35、 INFINITY …… ……,B1獲利下降10%，超出X3 系數(shù)允許范圍,B2獲利上升10%，超出X4 系數(shù)允許范圍,波動對計劃有影響,生產(chǎn)計劃應重新制訂：如將x3的系數(shù)改為39.6計算，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果有很大變化。,4.2 自來水輸送與貨機裝運,生產(chǎn)、生活物資從若干供應點運送到一些需求點，怎樣安排輸送方案使運費最小，或利潤最大；,運輸問題,各種類型的貨物裝箱，由于受體積、重量等限制，如何搭配裝載，使獲利最高

36、，或裝箱數(shù)量最少。,其他費用:450元/千噸,應如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？,若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？,例1 自來水輸送,收入：900元/千噸,支出,總供水量：160,確定送水方案使利潤最大,問題分析,< 總需求量：120+180=300,總收入900?160=144,000(元),收入：900元/千噸,其他費用:450元/千噸,支出,引水管理費,其他支出450?160=72,000(元),供應限制

37、,約束條件,需求限制,線性規(guī)劃模型(LP),目標函數(shù),水庫i 向j 區(qū)的日供水量為 xij（x34=0）,決策變量,模型建立,確定3個水庫向4個小區(qū)的供水量,模型求解,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 24400.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 30.000000

38、 X12 50.000000 0.000000 X13 0.000000 50.000000 X14 0.000000 20.000000 X21 0.000000 10.000000 X22 50.000000 0.

39、000000 X23 0.000000 20.000000 X24 10.000000 0.000000 X31 40.000000 0.000000 X32 0.000000 10.000000 X33 10.000000

40、 0.000000,利潤=總收入-其它費用-引水管理費=144000-72000-24400 = 47600（元）,引水管理費 24400(元),目標函數(shù),總供水量(320) > 總需求量(300),每個水庫最大供水量都提高一倍,利潤 = 收入(900) –其它費用(450) –引水管理費,供應限制,B, C 類似處理,,問題討論,確定送水方案使利潤最大,需求約束可以不變,求解,OBJECTIVE FUNCTION VALU

41、E 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14

42、 0.000000 20.000000 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000

43、 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000,這類問題一般稱為“運輸問題”(Transportation Problem),總利潤 88700（元）,如何裝運，使本次飛行獲利最大？,三個貨艙最大載重(噸),最大容積(

44、米3),例2 貨機裝運,三個貨艙中實際載重必須與其最大載重成比例,飛機平衡,決策變量,xij--第i 種貨物裝入第j 個貨艙的重量(噸）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分別代表前、中、后倉),模型假設(shè),每種貨物可以分割到任意小；,貨機裝運,每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布；,多種貨物可以混裝，并保證不留空隙；,模型建立,貨艙容積,目標函數(shù)(利潤),約束條件,貨機裝運,模型建立,貨艙重量,xij--第i 種貨物裝入第j

45、 個貨艙的重量,約束條件,平衡要求,貨物供應,貨機裝運,模型建立,xij--第i 種貨物裝入第j 個貨艙的重量,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000

46、 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31

47、 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000

48、 X43 0.000000 650.000000,貨物2：前倉10,后倉5； 貨物3: 中倉13, 后倉3；貨物4: 中倉3。,貨機裝運,模型求解,最大利潤約121516元,貨物~供應點貨艙~需求點,平衡要求,設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為x1, x2, x3,汽車廠生產(chǎn)計劃,模型建立,線性規(guī)劃模型(LP),模型求解,3） 模型中增加條件：x1, x2, x3 均為整數(shù)，重新求解。,OBJECTI

49、VE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3

50、 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226,結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？,1）舍去小數(shù)

51、：取x1=64，x2=167，算出目標函數(shù)值z=629，與LP最優(yōu)值632.2581相差不大。,2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數(shù)值z，通過比較可能得到更優(yōu)的解。,但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？,IP可用LINGO直接求解,整數(shù)規(guī)劃(Integer Programming,簡記IP),IP 的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z=632,model:max =2*x1+

52、3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3<600;280*x1+250*x2+400*x3<60000;@gin(x1);@gin(x2);end,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.0000

53、00 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000,模型求解,IP 結(jié)果輸出,其中3個子模型應去掉，然后逐一求解，比較目標函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：,方法1：分解為8個LP子模型,汽車廠生產(chǎn)計劃,若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃。,x1,x2,, x3=0 或 ?80,,?

54、,?,?,x1=80，x2= 150，x3=0，最優(yōu)值z=610,LINGO中對0-1變量的限定：@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);,方法2：引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃,M為大的正數(shù)，可取1000,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.0

55、00000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3

56、 0.000000 0.000000,若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃。,x1=0 或 ?80,,最優(yōu)解同前,NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學軟件求解(如LINGO, MATLAB)，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。,方法3：化為非線性規(guī)劃,非線性規(guī)劃（Non- Linear Programming，簡記NLP）,實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時，才能得到正確的結(jié)果。,若生產(chǎn)某類

57、汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃。,x1=0 或 ?80,,應如何安排原油的采購和加工 ？,例2 原油采購與加工,市場上可買到不超過1500噸的原油A： 購買量不超過500噸時的單價為10000元/噸； 購買量超過500噸但不超過1000噸時，超過500噸的 部分8000元/噸； 購買量超過1000噸時，超過1000噸的部分6000元/噸。,決策變量,目標函數(shù),問題分析,利潤：銷售汽油的收入 - 購買原油A的支出

58、難點：原油A的購價與購買量的關(guān)系較復雜,原油A的購買量,原油A, B生產(chǎn)汽油甲,乙的數(shù)量,c(x) ~ 購買原油A的支出,利潤(千元),c(x)如何表述？,原油供應,約束條件,x? 500噸單價為10千元/噸； 500噸? x? 1000噸，超過500噸的8千元/噸；1000噸? x? 1500噸，超過1000噸的6千元/噸。,目標函數(shù),目標函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃； 對于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃

59、軟件也難以輸入和求解； 想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。,汽油含原油A的比例限制,約束條件,x1 , x2 , x3 ~以價格10, 8, 6(千元/噸)采購A的噸數(shù),目標函數(shù),只有當以10千元/噸的價格購買x1=500(噸)時，才能以8千元/噸的價格購買x2,方法1,非線性規(guī)劃模型，可以用LINGO求解,模型求解,x= x1+x2+x3, c(x) = 10x1+8x2+6x3,500噸? x? 1000噸，超過500噸的8千

60、元/噸,,x= x1+x2+x3, c(x) = 10x1+8x2+6x3,方法1：LINGO求解,Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 0; 2*x12 - 3*x22 > 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1

61、 0;x11 > 0;x12 > 0;x21 > 0;x22 > 0;x1 > 0;x2 > 0;x3 > 0;end,Objective value: 4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.0000 0.0000000E+00X21 50

62、0.0000 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X

63、 0.0000000E+00 0.0000000E+00,LINGO得到的是局部最優(yōu)解，還能得到更好的解嗎？,用庫存的500噸原油A、500噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油A，利潤為4,800千元。,y1, y2 , y3=1 ~以價格10, 8, 6(千元/噸)采購A,增加約束,方法2,0-1線性規(guī)劃模型，可用LINDO求解,y1,y2,y3 =0或1,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1

64、) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11

65、 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000

66、 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000,購買1000噸原油A，與庫存的500噸原油A和1000噸原油B一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤為5,000千元 。,

67、x1 , x2 , x3 ~以價格10, 8, 6(千元/噸)采購A的噸數(shù),優(yōu)于方法1的結(jié)果,b1 b2 b3 b4,方法3,b1? x?b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z2?0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).,b2 ? x? b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 ? 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3

68、).,b3 ? x? b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z4 ? 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4).,直接處理處理分段線性函數(shù)c(x),IP模型，LINDO求解，得到的結(jié)果與方法2相同.,處理分段線性函數(shù)，方法3更具一般性,bk?x?bk+1?yk=1,否則,yk=0,方法3,bk?x?bk+1 ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1，zk, zk+1 ?0, c(x)=