考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、2012考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)大全線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（一）線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對(duì)象的過程中建立起來的學(xué)科。線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問題值得討論：（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；（2）、方程組如何求解，有多少個(gè)解；（3）、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系

2、，即解的結(jié)構(gòu)問題。高斯消元法，最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：（1）、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；（2）、交換某兩個(gè)方程的位置；（3）、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。對(duì)方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相

3、對(duì)位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。可以用矩陣的形式來表示一個(gè)線性方程組，這至少在書寫和表達(dá)上都更加簡(jiǎn)潔。系數(shù)矩陣和增廣矩陣。高斯消元法中對(duì)線性方程組的初等變換，就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對(duì)其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。階梯

4、形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱為該行的主元。對(duì)不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無解，若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若rn，則方程組有無窮多解。在利用

5、初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形，使用最簡(jiǎn)形，最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對(duì)于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習(xí)慣。常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線

6、性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來的最基本理論。對(duì)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個(gè)線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。通過對(duì)行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。向量組的秩是一個(gè)自然數(shù)，由這個(gè)自然數(shù)

7、就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，由此可見，秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計(jì)算方法。線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（三）為了求向量組的秩，我們來考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩，行向量組的秩稱為行秩。對(duì)階梯形矩陣進(jìn)行考察，發(fā)現(xiàn)階梯形矩陣的行秩等于列秩，并且都等于階梯形的非零行的數(shù)目，并且主元所在的列構(gòu)成列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。矩陣的初等行變換不會(huì)改變矩陣的行秩，也不會(huì)改變矩陣的列秩。任取一個(gè)矩陣A

8、，通過初等行變換將其化成階梯形J，則有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即對(duì)任意一個(gè)矩陣來說，其行秩和列秩相等，我們統(tǒng)稱為矩陣的秩。通過初等行變換化矩陣為階梯形，即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關(guān)組的方法?？紤]到A的行秩和A的轉(zhuǎn)置的列秩的等同性，則初等列變換也不會(huì)改變矩陣的秩?？偠灾醯茸儞Q不會(huì)改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩，而不需要求A的列向量組的極大無關(guān)組時(shí)，可以對(duì)A既作初等行變換，又作初等列變換，這會(huì)給計(jì)算

9、帶來方便。矩陣的秩，同時(shí)又可定義為不為零的子式的最高階數(shù)。滿秩矩陣的行列式不等于零。非滿秩矩陣的行列式必為零。既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同，則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡(jiǎn)單的表達(dá)如下：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。另外，有唯一解和有無窮多解的條件也可從秩的角度給出回答：系數(shù)矩陣的秩r等于未知量數(shù)目n，有唯一解，rn，有無窮多解。齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問題，可以用基礎(chǔ)解系來表示。當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)

10、數(shù)等于nr，用基礎(chǔ)解系表示的方程組的解的集合稱為通解。通過對(duì)具體實(shí)例進(jìn)行分析，可以看到求基礎(chǔ)解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，是由對(duì)應(yīng)的齊次通解加上一個(gè)特解。線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架（四）在之前研究線性方程組的解的過程當(dāng)中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用，故還有必要對(duì)矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專門探討。矩陣的加法和數(shù)乘，與向量的運(yùn)算類同。矩陣的另外一個(gè)重要應(yīng)用：線性變換（最典型例子是旋轉(zhuǎn)變換）。即可以把一個(gè)矩陣看

11、作是一種線性變換在數(shù)學(xué)上的表述。矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a，矩陣B對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度b，則矩陣AB對(duì)應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度ab。矩陣乘法的特點(diǎn)：若C=AB，則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對(duì)應(yīng)乘積之和；A的列數(shù)要和B的行數(shù)相同；C的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)是B的列數(shù)。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結(jié)合律。利用矩陣乘積的寫法，線性方程組可更簡(jiǎn)單的表示為：Ax=b。對(duì)于C=A

12、B，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫成列向量組的形式，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列秩；將右邊的矩陣B寫成行向量組的形式，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最終可得到結(jié)論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過任一個(gè)因子的秩。關(guān)于矩陣乘積的另外一個(gè)重要結(jié)論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式