1.3.1(1)函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)及例題解析

1、1函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)及例題解析知識(shí)點(diǎn)一：基本概念（增減函數(shù)、增減區(qū)間、最大最小值）知識(shí)點(diǎn)一：基本概念（增減函數(shù)、增減區(qū)間、最大最小值）知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)單調(diào)性的判定方法（常用的）知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)單調(diào)性的判定方法（常用的）（1）定義法（基本法）定義法（基本法）；①取值：任取，且；②作差：；Dxx?2121xx?????21xfxf?③變形：通常是因式分解或配方；④定號(hào)：即判斷差的正負(fù)；????21xfxf?⑤下結(jié)論：即指出函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)

2、性.??xfD（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性；（現(xiàn)所知道的一次函數(shù)，一元二次函數(shù)，反比例函數(shù)，能夠畫出圖像的函利用已知函數(shù)的單調(diào)性；（現(xiàn)所知道的一次函數(shù)，一元二次函數(shù)，反比例函數(shù)，能夠畫出圖像的函數(shù)）數(shù)）（3）利用函數(shù)的圖像；利用函數(shù)的圖像；，，.xy?2??xy212???xy（4）依據(jù)一些常用結(jié)論及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法依據(jù)一些常用結(jié)論及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法；①兩個(gè)增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；②一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）

3、函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；?如果單調(diào)性相同，那么是增函數(shù)；如果單調(diào)性相)()(xguufy??和)]([xgfy?)()(xguufy??和反，那么是減函數(shù).對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出下表以助記憶.)]([xgfy?)(ufy?)(xgu?)]([xgfy?上述規(guī)律可概括為“同增，異減”知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值的大?。焕煤瘮?shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；附加：附加：①

4、的單調(diào)性：增函數(shù)，減函數(shù)；??0???abaxy0?a0?a②的單調(diào)性：減區(qū)間；增區(qū)間；??0??kxky0?k????????000?k????????00③的單調(diào)性：，減區(qū)間，增區(qū)間；??02????acbxaxy0?a?????????ab2?????????2ab，增區(qū)間，減區(qū)間；0?a?????????ab2?????????2ab④在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則時(shí)，在上是增（減）函數(shù)；時(shí)則相反；??xfA0?k??xkfA0?k

5、⑤若、是區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在區(qū)間上是增（減）函數(shù)；??xf??xgA????xgxf?A3函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間是（0，∞）；當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y=﹣x﹣1，是單調(diào)減函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，0）8.8.求函數(shù)函數(shù)f（x）=x=x4﹣2x﹣2x255在區(qū)間在區(qū)間[﹣2[﹣2，2]2]上的最大值上的最大值與最小值最小值分析：本題考察二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，菁令t=x2，可得0≤t≤4，根據(jù)二次函數(shù)g（t）=f（x）=x4﹣2x25=（t﹣1

6、）24的對(duì)稱軸為t=1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)g（t）在區(qū)間[0，4]上的最值解：令t=x2，由﹣2≤x≤2，可得0≤t≤4，由于二次函數(shù)g（t）=f（x）=x4﹣2x25=t2﹣2t5=（t﹣1）24的對(duì)稱軸為t=1，則函數(shù)g（t）在區(qū)間[0，4]上的最大值是g（4）=13，最小值為g（1）=4，故答案為13，49.9.證明函數(shù)證明函數(shù)在[﹣2[﹣2，∞∞）上是增函數(shù)）上是增函數(shù)分析：本題考查的是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，在解答時(shí)

7、要根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，先在所給的區(qū)間上任設(shè)兩個(gè)數(shù)并規(guī)定大小，然后通過作差法即可分析獲得兩數(shù)對(duì)應(yīng)函數(shù)值之間的大小關(guān)系，結(jié)合定義即可獲得問題的解答證明：任取x1，x2∈[﹣2，∞），且x1＜x2，則f（x1）－f（x2）=－21?x22?x==，22)22)(22(212121?????????xxxxxx222121????xxxx因?yàn)閤1x2＜0，＞0，21?x22?x得f（x1）＜f（x2）所以函數(shù)在[﹣2，∞）上是增函數(shù)10.10

8、.函數(shù)函數(shù)f（x）=，①，①用定義證明函數(shù)的單調(diào)性并寫出單調(diào)區(qū)間用定義證明函數(shù)的單調(diào)性并寫出單調(diào)區(qū)間；②求f（x）在）在[3[3，5]5]上最大值和最小值上最大值和最小值分析：①分離常數(shù)得到f（x）=，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性便可看出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（﹣1，∞），根據(jù)單調(diào)性的定義證明：設(shè)任意的x1，x2≠﹣1，且x1＜x2，然后作差，通分，說明x1，x2∈（﹣∞，﹣1），或x1，x2∈（﹣1，∞）上時(shí)都有f（x1）

9、＜f（x2），這樣即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；②根據(jù)f（x）的單調(diào)性便知f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增，從而可以求出f（x）的值域，從而可以得出f（x）在[3，5]上的最大、最小值解：①f（x）===2；112??xx11)1(2???xx11?x該函數(shù)的定義域?yàn)閤|x≠﹣1，設(shè)x1，x2∈x|x≠﹣1，且x1＜x2，則：f（x1）f（x2）==；112?x111?x)1)(1(2121???xxxx∵x1＜x2；∴x1﹣x2＜0；∴x

10、1，x2∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，x11＜0，x21＜0；x1，x2∈（﹣1，∞）時(shí)，x11＞0，x21＞0；∴（x11）（x21）＞0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，∞）上單調(diào)遞增，即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（﹣1，∞）；②由上面知f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增；∴f（3）≤f（x）≤f（5）；∴7／4≤f（x）≤11／6；∴f（x）在[3，5]上的最大值為11／6，最小值為7／411.11.已