新課標(biāo)高一函數(shù)單調(diào)性與奇偶性經(jīng)典例題解析[編輯7頁(yè)]

1、18新課標(biāo)高一函數(shù)單調(diào)性與奇偶性經(jīng)典例題解析下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4分析：分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定相交，因此③正確，①錯(cuò)誤奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，因此②不正確若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定x

2、∈R，如例1中的(3)，故④錯(cuò)誤，選A說(shuō)明：說(shuō)明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零2復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過(guò)中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：(1)單調(diào)性規(guī)律如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間［m，n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在

3、區(qū)間[g(m)，g(n)](或[g(n)，g(m)])上也是單調(diào)函數(shù)，那么若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；若u=g(x)，y=f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函數(shù)(2)奇偶性規(guī)律若函數(shù)g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=f[g(x)]是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y=f[g(

4、x)]是偶函數(shù)［例［例1］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1當(dāng)且僅當(dāng)001－x1x20，∴012121xxxx??又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x11)0又x110x210)1(12112????xxxxxaaaa∴0)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122?????????????????xxxxxxxxxxxxxx于是f(x2)－f(x1)=01

5、2xxaa?12121122?????xxxx∴f(x)在(－1，∞）上為遞增函數(shù).(2）證法一：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0則且由0＜＜1得0＜－＜112000????xxax0xa1200??xx即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.21證法二：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0若－1＜x0＜0則＜－2＜1∴f(x0)＜－1與f(x0)=01200??xx0xa矛盾，若x0＜－1則00，∴

6、f(x0)0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.1200??xx0xa6.求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，∞)上是減函數(shù).223)1(?xx證明：∵x≠0∴f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1xxxxxxx?????設(shè)1＜x1＜x2＜∞則.0111111121222122??????xxxx2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(xxxxxxxx?????????∴f(x1)