函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性精品講義

1、1第三講函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性一、知識點歸納一、知識點歸納函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性（1）定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)），區(qū)間D為函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間（減區(qū)間）概括起來，即1212121212121212()()()()()()()()xxxxfxfxfxfxxxxxfxfxfxfx????????????

2、???????????????????增函數(shù)或“同增異減”減函數(shù)或（2）函數(shù)單調(diào)性的證明的一般步驟：①設(shè)，是區(qū)間D上的任意兩個實數(shù)，且1x2x12xx?②作差，并通過因式分解、配方、通分、有力化等方法使其轉(zhuǎn)化為易于判斷12()()fxfx?正負的式子；③確定的符號；④給出結(jié)論12()()fxfx?證明函數(shù)單調(diào)性時要注意三點：①和的任意性，即從區(qū)間D中任取和，證明單1x2x1x2x調(diào)性時不可隨意用量額特殊值代替；②有序性，即通常規(guī)定；③同

3、區(qū)間性，即和12xx?1x必須屬于同一個區(qū)間。2x（3）設(shè)復合函數(shù)是定義區(qū)間M上的函數(shù)，若外函數(shù)f(x)與內(nèi)函數(shù)g(x)的單????xgfy?調(diào)性相反，則在區(qū)間M上是減函數(shù)；若外函數(shù)f(x)與內(nèi)函數(shù)g(x)的單調(diào)性相????xgfy?同，則在區(qū)間M上是增函數(shù)。概括起來，即“同增異減II號”????xgfy?（4）簡單性質(zhì)：①與單調(diào)性相同；與及單調(diào)性相反()fx()fx()fx()fx?1()fx②在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減

4、函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；?)(xf)(xg?)(xf)(xg增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。?)(xf)(xg?)(xf)(xg（5）必須掌握特殊函數(shù)單調(diào)性①一次函數(shù)：ykxb??3（2）若為偶函數(shù)，則：①；②圖像關(guān)于軸對稱③在關(guān)()fx()()fxfx??()fxy()fx于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；④幾種特殊的偶函數(shù)：，，yx?2yx?cosyx?注：①若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則；②在同一定義域內(nèi)，2yaxbxc???0b?，

5、=??奇偶奇，；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一個解析式=?奇奇奇=???偶偶偶()0fx?二、典例例題解析：二、典例例題解析：題型一題型一單調(diào)性的定義單調(diào)性的定義例1定義在R上的函數(shù)()fx對任意兩個不相等的實數(shù)ab總有()()0fafbab???，試判斷()fx單調(diào)性。例2若()fx在區(qū)間()ab上是增函數(shù)，在區(qū)間()bc上也是增函數(shù)，則函數(shù)()fx在區(qū)間()()abbc?上（）A.必是增函數(shù)B.B.必是減函數(shù)C.C.是增函數(shù)或減

6、函數(shù)D.無法確定單調(diào)性變式訓練變式訓練下列說法中正確的有＿＿＿＿＿＿個①若12xxI?，當12xx?時，12()()fxfx?，則()yfx?在I上是增函數(shù)②函數(shù)2yx?在R上是增函數(shù)；③函數(shù)1yx??在定義域上是增函數(shù)；④1yx?的單調(diào)區(qū)間是(0)(0)?????題型二題型二單調(diào)性的證明單調(diào)性的證明例1證明函數(shù)1yxx??在區(qū)間(01)上為減函數(shù)例2證明函數(shù)2()1fxxx???在其定義域內(nèi)是減函數(shù)例3已知函數(shù)()yfx?在(0)??