一元二次方程及其解法

1、一元二次方程及其解法,,,已知 ，求 的值,答案：,,小結(jié)：,,都可轉(zhuǎn)化為a=b=0,,已知 ，求 的值,3,3,2,,想一想,一、

2、復(fù)習(xí)提問、,1、一元二次方程的一般形式是什么？,2、一元二次方程分類,,,,,探究交流,（1）判斷方程X（X＋10）=X2－3是否是一元二次方程？（2）方程3 X2＋2X=1的常數(shù)項是1，方程 3 X2－2X＋6=0的一次項系數(shù)是2，這種說法對嗎？,,答案：（1）化簡后為10X＋3=0,所以它是一元一次方程。,（2）要將一元二次方程化為一般形式，且系數(shù)包括它前面的性質(zhì)符號。,練習(xí)：,（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是

3、關(guān)于X的一元二次方程，求m的值。,答案：m=2,（2）當(dāng)m= 時，方程（m2－1）x2－（m－1）x＋1=0是關(guān)于x的一元一次方程。,,答案：m=－1,（3）已知關(guān)于x的一元二次方程（m－1） x2＋3x＋㎡－1=0有一個解是0，求m的值。,答案：m=－1,（4）m為何值時，關(guān)于x的一元二次方程 mx2＋m2x－1= x2＋x 沒有一次項？,答案：m=－1,活動1,如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 c

4、m．在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？(課件：制作盒子),問題1,活動1,要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)該邀請多少個隊參賽？（課件：探索比賽場次）,問題2,例 已知：關(guān)于x的方程 (2m-1)x2-

5、(m-1)x=5m是一元二次方程, 求：m的取值范圍.,解：∵　原方程是一元二次方程，　　∴　2m-1≠0， ∴　m≠ .,,,方程的解的定義,使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做這個方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X2－5X＋6=0 的根。 注意：一元二次方程可以無解，若有解，就一定有兩個解。,活動2,3．猜測下列方程的根是什么？,,方程

6、的根：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.,4.（1）下列哪些數(shù)是方程,,的根？從中你能體會根的作用嗎？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4,活動2,（2）若x＝2是方程 的一個,,根，你能求出a的值嗎？,根的作用：可以使等號成立.,活動3,鞏固練習(xí),,,1．你能根據(jù)所學(xué)過的知識解出下列方程的解嗎？（

7、1） ； （2） .,,一元二次方程的解法(1)----開平方法,問題1：,一桶某種油漆可刷的面的為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷好完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？,設(shè)正方體的棱長為X，則一個正方體的表面積為6X2.根據(jù)一桶油漆可刷的面積，列出方程,解,,由此可得,,根據(jù)平方根的意義，得,,即,,因為

8、棱長不能是負值，所以正方體的棱長為5dm.,思考,對照上面解方程的過程，你認為應(yīng)怎樣解方程 及方程,,,由方程,,得：,,即,,方程的兩根為,,解,方程,,可化為,,得,,方程的兩根為,,,,,,,,,,,當(dāng)ac<0時 ，,形如 （a≠0，c ≠ 0）的一元二次方程的解法：,當(dāng)ac＞0時 ，此方程無實數(shù)解.,-3x2+7=0.,解：,,例題講解,,,,解：系數(shù)化1

9、，得,,開平方，得,解這兩個一元一次方程，得,,或,,小結(jié),如何解形如 的一元二次方程?,小結(jié)與思考,方程可化為一邊是 ____________________,另一邊是____________,那么就可以用直接開平方法來求解.,1、怎樣的一元二次方程可以用直接開平方法 來求解?,含未知數(shù)的完全平方式,一個常數(shù),2、直接開平方法的理論依據(jù)是什么?,平方根的定義及性質(zhì),例題講解,拓展與提高

10、：,一元二次方程的解法(2)----配方法,復(fù)習(xí),填空,x2-2x+ ( ) = [x+ ( )]2 x2+6x+ ( ) = [x- ( )]2,,1,-1,9,-3,,,,,,,(1)x2＋8x＋ =(x＋4)2(2)x2－3x＋ =(x－ )2(3)x2－12x＋ =(x－ )2,填空,配方時,若二次項系數(shù)為1，則配上的常數(shù)是一次項系數(shù)一半的平

11、方.,請同學(xué)解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9,上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，,那么可得,,如：4x2+16x+16=（2x+4）2,x=±,,（p≥0）．,或mx+n=,±,二、探索新知 列出下面二個問題的方程并回答： （1）列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？

12、（2）能否直接用上面三個方程的解法呢？,問題1：印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起”．,大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數(shù)是猴子總數(shù)的 的平方，另一隊猴子數(shù)是12，那么猴子總數(shù)是多少？你能解決這個問題嗎？,問題1：設(shè)總共有x只猴子，根據(jù)題意，得：,,整理得：x2-64x+768=0,,問題2：如圖，在寬為20

13、m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？,問題2：設(shè)道路的寬為x，則可列方程：,（20-x）（32-2x）=5000,整理，得：x2-36x-2180=0,（1）列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有． （2）不能． 既然不能直接降次解方程，那么，

14、我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：,x2-64x+768=0,移項→,x2-64x=-768,兩邊加（,,,）2使左邊配成,x2+2bx+b2,的形式,x2-64x+322=-768+1024,左邊寫成平方形式 →,（x-32）2=256,降次→,x-32=±16,即 x-32=16或x-32=-16,解一次方程→x1=48，x2=16,可以驗證：x1=48，x2=16都是方程的根，所

15、以共有16只或48只猴子．,用配方法解一元二次方程的步驟:,移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù) 一半的平方;開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;求解:解一元一次方程;定解:寫出原方程的解.,活動1,1．要使一塊矩形場地的長比寬多6 cm，并且面積為16 cm2，場地的長和寬分別是多少？,,歸納：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化

16、為兩個一元一次方程.,,,先把方程的常數(shù)項移到方程的右邊，再把左邊配成一個完全平方式，如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解.,配方法,練習(xí)：,,綠苑小區(qū)住宅設(shè)計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地的長應(yīng)是多少米？,活動2,做一做,用配方法解下列方程:(1)x2＋6x=1(2)x2=6－5x(3) －x2＋4x－3=0,用配方法解方程,x2＋12x=

17、－9,你能總結(jié)出配方法的步驟嗎?,鞏固練習(xí),1.在用配方法解 時,方程的兩邊應(yīng)同時加上( ),2.解方程:,①,3、說明多項式 的值恒大于0,4、先用配方法說明：不論x取何值，代數(shù)式 值總大于0，再求出當(dāng)x取何值時，代數(shù)式

18、 的值最??？最小值是多少？,,你能行嗎,用配方法解下列方程.1.x2 – 2 = 0;2.x2 -3x- =0 ; 3.x2＋4x＝2；4.x2－6x＋1＝0 ；,,5.3x2 +8x –3=0 ;,這個方程與前4個方程不一樣的是二次項系數(shù)不是1,而是3.,基本思想是:如果能轉(zhuǎn)化為前4個方程的形式,則問題即可解決.,你想到了什么辦法?,配方法,例2 解方程 3x2+8x-3=0.

19、,,1.化1:把二次項系數(shù)化為1;,3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;,4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;,5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:寫出原方程的解.,2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;,成功者是你嗎,用配方法解下列方程.6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ; 7. 3x2 + 2x – 3 = 0 ;8. 2x2 + x –

20、6 = 0 ;9.4x2+4x+10 =1-8x .,,10. 3x2 - 9x +2 = 0 ; 11. 2x2 +6=7x ;12. x2 _x +56 = 0 ;13. -3x2+22x-24=0.,你能行嗎,做一做一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出,它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關(guān)系: h=15t-5t2

21、.小球何時能達到10m的高度?,,回味無窮,本節(jié)課復(fù)習(xí)了哪些舊知識呢？繼續(xù)請兩個“老朋友”助陣和加深對“配方法”的理解運用:平方根的意義:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2 =(a±b)2.本節(jié)課你又學(xué)會了哪些新知識呢？用配方法解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程的步驟:1.化1:把二次項系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項系數(shù));2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;

22、3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫出原方程的解.用一元二次方程這個模型來解答或解決生活中的一些問題(即列一元二次方程解應(yīng)用題).,如果x2=a,那么x=,設(shè)a≠0，a,b,c 都是已知數(shù)，并且 b2-4ac≥0，試用配方法解方程： ax2 +bx+c =

23、0.,?,,,,,,,b2-4ac≥0,因為,解,一元二次方程的解法(3)----求根公式法,活動2,利用公式法解下列方程，從中你能發(fā)現(xiàn)什么？,,,,,,解,,,,,活動2,,,,歸納： （1）一元二次方程 的根是由一元二次方程的系數(shù) 確定的； （2）在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在 的前提下，把 各個系數(shù)的值代入求根公式，可求得

24、方程的兩個根 ； （3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數(shù)根 .,,1．用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的情況你有什么結(jié)論？,活動3,,,活動3,結(jié)論,,,,,（1）當(dāng) 時，一元二次方程有實數(shù)根,,活動3,結(jié)論,,,（2）當(dāng) 時，一元二次方程有實數(shù)根,,,,活動4,結(jié)論,,,（3）當(dāng)

25、 時，一元二次方程無實數(shù)根.,,,活動5,2．某養(yǎng)雞廠的矩形雞舍長靠墻，現(xiàn)在有材料可以制作竹籬笆13米，若欲圍成20平方米的雞舍，雞舍的長和寬應(yīng)是多少？能圍成22平方米的雞舍嗎，若可以求出長和寬，若不能說明理由。（課件：圍矩形場地）,,,例： 解方程 ( 1 ) 3y2-2y=1,一般步驟：（1）先把方程化為一般形式（2）確定a,b,c

26、 （3）判定△=b2-4ac的值（4）代入求根公式,（2）,復(fù)習(xí)引入:,1、已學(xué)過的一元二次方程解 法有哪些？2、請用已學(xué)過的方法解方程 x2 － 4=0,一元二次方程的解法(4)----因式分解法,自學(xué)檢測題,1、 什么樣的一元二次方程可以用因式分解法來解？,2、用因式分解法解一元二次方程，其關(guān)鍵是什么？,3、用因式分解法

27、解一元二次方程的理論依據(jù)是什么?,4、用因式分解法解一元二方程，必須要先化成一般形式嗎？,例：解方程：x2=3x,解：移項，得x2-3x=0,將方程左邊分解因式，得x(x-3)=0,∴x=0 或x-3=0,∴原方程的解為：x1=0 x2=-3,這種解一元二次方程的方法叫因式分解法。,特點：在一元二次方程的一邊是0， 而另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式 分解法來解。,例1、解下列方程1、x2－3x－10=0

28、 2、(x+3)(x-1)=5,解：原方程可變形為 解：原方程可變形為 (x－5)(x+2)=0 x2+2x－8=0 (x－2)(x+4)=0x－5=0或x+2=0 x－2=0或x+4=0∴ x1=5 ,x2=-2 ∴ x1=2 ,x2=-4,用因式分解法解一元二次方程的步驟,1o方程右邊化為

29、 。2o將方程左邊分解成兩個 的乘積。3o至少 因式為零，得到兩個一元一次方程。4o兩個 就是原方程的解。,零,一次因式,有一個,一元一次方程的解,快速回答：下列各方程的根分別是多少？,例2 解下列方程：,（1） x2-3x-10=0,（2） （x+3）·（x-1）=5,填空題練習(xí)：,（1）方程x（x+1）

30、=0的根是______.,,,（2）已知x=0是關(guān)于x的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一個根， 則m=_______.,（3）若方程ax2+bx+c=0的各項系數(shù)之和 滿足a-b+c=0，則此方程必有一根是________.,選擇題訓(xùn)練1.對于方程(x-a)(x-b)=0,下列結(jié)論正確的是( )（A） x-a=0 （B）x-a=0或x-b=0（C

31、） x-b=0 （D）x-a=0且x-b=02、方程x(x-2)=2(2-x)的根為( )（A）-2 （B）2 （C） 2 （D）2、23、方程(x-1)²=(1-x)的根是( )（A）0 （B）1 （C）-1和0 （D）1和0,B,C,D,用因式分解法解下列方程：,y2=3y,②(2a－3)2=(a－2)(3a－4),③,④x2+7x+12=

32、0,①(x－5)(x+2)=18,⑤t(t+3)=28,⑥(4x－3)2=(x+3)2,我最棒 ,用分解因式法解下列方程,,參考答案：,1. ;,2. ；,4. ;,2.解一元二次方程的方法：直接

33、開平方法　 配方法 　公式法 因式分解法,小 結(jié)：,1o方程右邊化為 。2o將方程左邊分解成兩個 　 的乘積。3o至少 　 因式為零，得到兩個一元一次方程。4o兩個 就是原方程的解,零,一次因式,有一個,一元一次方程的解,1.用因式分解法解一元二次方程的步驟：,右化零　　左分解兩因式　　各求解,簡記歌訣：,一元

34、二次方程應(yīng)用,例1.某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸,這兩個月平均每個月增長的百分率是多少?,分析:2月份比一月份增產(chǎn) 噸. 2月份的產(chǎn)量是 噸 3月份比2月份增產(chǎn) 噸 3月份的產(chǎn)量是 噸,5000

35、(1+x),5000x,5000(1+x)x,5000(1+x)2,解:平均每個月增長的百分率為x 列方程 5000(1+x)2 =7200 化簡 (1+ x)2 =1.44 x1=0.2 x2=-2.2 檢驗: x2= -2.2(不合題意), x1=0.2 =20% 答:平均每個月增長的百分率是20%.,例2:某月餅原來每盒售價96元,由于賣不出去，結(jié)果兩次降價,現(xiàn)

36、在每盒售價54元,平均每次降價百分之幾?,總結(jié):1.兩次增長后的量=原來的量(1+增長率)2若原來量為a,平均增長率是x,增長后的量為A 則 第1次增長后的量是A=a(1+x) 第2次增長后的量是A=a(1+x)2 …… 第n次增長后的量是A=a(1+x)n 這就是重要的增長率公式.,2.兩次降價后價格=原價格(1-降價率)2公式表示

37、：A=a(1-x)2,一.復(fù)習(xí)填空:1、某工廠一月份生產(chǎn)零件1000個，二月份生產(chǎn)零件1200個，那么二月份比一月份增產(chǎn) 個？增長率是多少 。2、銀行的某種儲蓄的年利率為6%，小民存 1000元，存滿一年，利息= 。存滿一年連本帶利的錢數(shù)是 。,,200,20%,1060元,利息= 本金×利率,增長量

38、=原產(chǎn)量× 增長率,60元,4.康佳生產(chǎn)一種新彩霸,第一個月生產(chǎn)了5000臺,第二個月增產(chǎn)了50%,則:第二個月比第一個月增加了 _______ 臺,第二個月生產(chǎn)了 ___________ 臺;,5000×50%,5000(1+50%),3.某產(chǎn)品，原來每件的成本價是500元，若每件售價625元，則每件利潤是 .每件利潤率是 .,利潤=成本價×

39、;利潤率,125元,,25%,例3, 某科技公司研制成功一種產(chǎn)品,決定向銀行貸款200萬元資金用于這種產(chǎn)品,簽定的合同上約定兩年到期一次性還本付息,利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場后,由于產(chǎn)銷對路,使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外,還盈余72萬元.該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分數(shù)相同,求這個百分數(shù)？,解：設(shè)這個百分數(shù)為x，依題意得： 200(1 + x)2 = 72 + 200(1 + 8%)

40、 (1 + x)2 = 1.44 1 + x = ±1.2 , 則 x1 = 0.2 , x2 = - 2.2 (不合題意，舍去.）,利息為本金的8%,,四川省中考題,甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用的時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？,解：設(shè)甲每小時做x個零件則乙每小時做（ x －6）個零件， 依題意,得,,,

41、,經(jīng)檢驗X=15是原方程的根。,答：甲每小時做18個，乙每小時12個,請審題分析題意設(shè)元,我們所列的是一個分式方程，這是分式方程的應(yīng)用,由x＝18得x－6=12,等量關(guān)系：甲用時間=乙用時間,解這個方程,得,1、 甲、乙兩人練習(xí)騎自行車，已知甲每小時比乙多走6千米，甲騎90千米所用的時間和乙起騎60千米所用時間相等，求甲、乙每小時各騎多少千米？,2、甲、乙兩種商品，已知甲的價格每件比乙多6元，買甲90件所用的錢和買乙60件所用錢相等，

42、求甲、乙每件商品的價格各多少元？,試一試,,,解：設(shè)自行車的速度為x千米/時，那么汽車的速度是3x千米/時， 依題意,得,汽車所用的時間＝自行車所用時間－ 時,,設(shè)元時單位一定要準確,解這個方程,得,x=15,經(jīng)檢驗，15是原方程的根,由x＝15得3x=45,答：自行車的速度是15千米/時，汽車的速度是45千米/時,得到結(jié)果記住要檢驗。,例1：農(nóng)機廠到距工廠15千米的向陽村檢修農(nóng)機，一部分人騎自行車先走，過了40

43、分鐘，其余人乘汽車去，結(jié)果他們同時到達，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度。,行程問題基本關(guān)系：S=vt,1、元旦某公園的成人的門票每張8元，兒童門票半價（即每張4元），全天共售出門票3000張，收入15600元。問這天售出兒童門票多少張？,解：設(shè)售出兒童門票x張,根據(jù)題意，得：,,解方程，得： x = 2100,答：共售出兒童票2100張,2、某部隊開展支農(nóng)活動，甲隊27人，乙隊19人，現(xiàn)另調(diào)26人去支援，使甲隊是乙隊的2倍，

44、問應(yīng)調(diào)往甲隊、乙隊各多少人？,解：設(shè)調(diào)往甲隊x人，則調(diào)往乙隊（26-x)人,根據(jù)題意，得方程：,,解方程得：x = 21,答：調(diào)往甲隊21人。調(diào)往乙隊5人。,例1 甲、乙兩人從相距36米的兩地相向而行。如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)后經(jīng)2.5小時相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)后經(jīng)3小時相遇；求甲、乙兩人每小時各走多少千米？,,,,,,,,,,,,36千米,甲先行2時走的路程,乙出發(fā)后甲、乙2.5時共走路程,甲,乙