[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第三章1講

1、第三章,多維隨機(jī)變量,從本講起，我們開始第三章的學(xué)習(xí).,一維隨機(jī)變量及其分布,,多維隨機(jī)變量及其分布,由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量 .,它是第二章內(nèi)容的推廣.,,到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布. 但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述.,在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的.,飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v (三個(gè)坐標(biāo)）來(lái)確定的等

2、等.,一般地，我們稱n個(gè)隨機(jī)變量的整體X=(X1, X2, …，Xn)為n維隨機(jī)變量或隨機(jī)向量. 以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.,請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照 .,1離散型二維隨機(jī)變量,,1）定義：,,,,,3)二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律的性質(zhì),,,2、聯(lián)合分布函數(shù),1）定 義,,,2）二元分布函數(shù)的幾何意義,,,,,y,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,(x, y),(X, Y ),3）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：,,,（1）F (x

3、, y )是變量 x , y 的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的 y , 當(dāng) x1< x2時(shí)，對(duì)于任意固定的 x , 當(dāng) y1< y2時(shí)，,對(duì)于任意固定的 y ,,且,對(duì)于任意固定的 x ,,,,（3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù).,,,1）定義：對(duì)于二維隨機(jī)變量 ( X,Y )

4、分布函數(shù) F (x , y )，如果存在非負(fù)函數(shù) f (x , y )，使得對(duì)于任意的 x，y有：,則稱 ( X,Y ) 是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函數(shù) f (x , y )稱為二維隨機(jī)變量 ( X,Y )的概率密度，或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度。,3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量,,,2) 概率密度的性質(zhì)：,40 設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在 G 內(nèi) 的概率為：,Important formula,,

5、,在幾何上 z = f (x , y) 表示空間的一個(gè)曲面，上式即表示 P{(X,Y)?G}的值等于以 G 為底，以曲面 z = f (x , y)為頂?shù)闹w體積.,,例1　把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求(X,Y)的概率函數(shù) .,,解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8,P(X=1,

6、 Y=1)=3(1/2)3=3/8,P(X=2, Y=1)=3/8,P(X=3, Y=0)=1/8,列表如下,二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律. 而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?,,從表中不難求得:,P(X=0)=1/8,,P(X=1)=3/8,P(X=2)=3/8,,P(X=3)=1/8,,P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8

7、+3/8=6/8,,P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.,注意這兩個(gè)分布正好是表2的行和與列和.,如下表所示,我們常將邊緣概率函數(shù)寫在聯(lián)合概率函數(shù)表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.,,,,邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布．,邊緣分布的定義：,聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系,,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,一般，對(duì)離散型 r.v ( X,Y )，,則(

8、X,Y)關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為,(X,Y)關(guān)于Y 的邊緣概率函數(shù)為,X和Y 的聯(lián)合概率函數(shù)為,對(duì)連續(xù)型 r.v ( X,Y )，,X和Y的聯(lián)合概率密度為,則( X,Y )關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為,( X,Y )關(guān)于Y的邊緣概率函數(shù)為,對(duì)任意r.v (X,Y)，,X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為,則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為,(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為,,,例 2,,,,,,,,,例 3,,,例 3（續(xù)）,例4 設(shè)(X,Y)的概率密度是,

9、求 (1) c的值； （2）兩個(gè)邊緣密度。,=5c/24=1,,c =24/5,解：(1),例4 設(shè)(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度 .,注意積分限,注意取值范圍,例4 設(shè)(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度 .,注意積分限,注意取值范圍,即,,練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）具有下列概率密度,,,,,求其中的未知參數(shù)c,并求關(guān)于X和關(guān)

10、于Y的邊緣概率密度。,,,,,,在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分. 當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限 .,,下面我們介紹兩個(gè)常見的二維分布.,設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二維隨機(jī)變量（ X,Y）具有概率密度,則稱（X,Y）在G上服從均勻分布.,向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的形狀及位置無(wú)關(guān). 則質(zhì)點(diǎn)的

11、坐標(biāo)（ X,Y）在G上服從均勻分布.,例,若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度,記作（ X,Y）～N( ),二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布 .,留給同學(xué)們自己證明.,在這一講中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布.,由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;,但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.,那么要問，在什么情況下，由邊緣分布可以唯一確定聯(lián)合分布呢？,

12、請(qǐng)注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:,我們下一講就來(lái)回答這個(gè)問題.,,,,芝諾悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī),十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭(zhēng)論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從歷史或邏輯的觀點(diǎn)來(lái)看，它的發(fā)生也帶有必然性。 這次危機(jī)的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對(duì)無(wú)限性的理解問題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時(shí)空的有限與無(wú)限的四個(gè)悖論：    “兩分法”：向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過路程的中

13、點(diǎn)，然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過路程的1/4點(diǎn)……，如此類推以至無(wú)窮?！Y(jié)論是：無(wú)窮是不可窮盡的過程，運(yùn)動(dòng)是不可能的。,,“阿基里斯(《荷馬史詩(shī)》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個(gè)論點(diǎn)同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分?！帮w矢不動(dòng)”：意思是箭在運(yùn)動(dòng)過程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,,“操場(chǎng)或游行隊(duì)伍”：A

14、、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動(dòng)。從靜止的c來(lái)看，比如說(shuō)A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動(dòng)了2公里，可是從A看來(lái)，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動(dòng)了4公里。運(yùn)動(dòng)是矛盾的，所以運(yùn)動(dòng)是不可能的。 芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個(gè)悖論詰難了關(guān)于時(shí)間和空間無(wú)限可分，因而運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個(gè)悖論詰難了時(shí)間和空間不能無(wú)限可分，因而運(yùn)動(dòng)是間斷的觀點(diǎn)。,,它們說(shuō)明了人們已經(jīng)看到“無(wú)窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無(wú)法解決這些矛盾。 經(jīng)過許多人多年的努力

15、，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無(wú)窮小演算——微積分這門學(xué)科。由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時(shí)解決問題的重要工具。同時(shí)，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來(lái)越嚴(yán)重。關(guān)鍵問題就是無(wú)窮小量究競(jìng)是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。無(wú)窮小量究竟是不是零？牛頓’萊布尼茲對(duì)它曾作過不同解釋 ，但是他們也沒有找到從有限量過渡到無(wú)窮小量的橋梁。,,直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比