[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第四章2講

1、,第二節(jié) 方差,,上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.,但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.,例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：,若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？,測(cè)量結(jié)果的均值都是 a,因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近,又如,甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距

2、目標(biāo)的位置如圖：,你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢?,甲炮射擊結(jié)果,乙炮射擊結(jié)果,因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 .,為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.,這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的,方差,一、方差的定義,采用平方是為了保證一切差值X-E(X)都起正面的作用,由于它與X具有相同的度量單位，在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用.,方差的算術(shù)平方根 稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差,若X的取值比較分散，則方差較

3、大 .,若方差D(X)=0,則r.v X 以概率1取常數(shù)值 .,方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 .,若X的取值比較集中，則方差較小；,D(X)=E[X-E(X)]2,X為離散型，P(X=xk)=pk,由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望 .,X為連續(xù)型，X~f(x),二、計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式,D(X)=E(X2)-[E(X)]2,展開(kāi),證：D(X)=E[X-E(X)]2,=E{

4、X2-2XE(X)+[E(X)]2},=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2,=E(X2)-[E(X)]2,利用期望性質(zhì),請(qǐng)自己用此公式計(jì)算常見(jiàn)分布的方差.,例1 設(shè)r.v X服從幾何分布，概率函數(shù)為,P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…，n,其中0<p<1,求D(X),解：,記q=1-p,求和與求導(dǎo)交換次序,無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式,D(X)=E(X2)-[E(X)]2,+E(X),三、方差的性

5、質(zhì),1. 設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;,2. 若C是常數(shù),則D(CX)=C2 D(X);,3. 若X1與X2 獨(dú)立，則 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);,可推廣為：若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,則,X1 與X2不一定獨(dú)立時(shí)，D(X1 +X2 )=？請(qǐng)思考,4. D(X)=0 P(X= C)=1， 這里C=E(X),下面我們用一例說(shuō)明方差性質(zhì)的應(yīng)用 .,例2 二項(xiàng)分布的方差,設(shè)X~B(n

6、,p), 則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù) .,故 D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2,E(Xi)=P(Xi=1)= p,,E(Xi2)= p,,則 是n次試驗(yàn)中“成功” 的次數(shù),= p- p2= p(1- p),于是,i=1,2，…，n,D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 = p- p2= p(1- p),由于X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,= np(1- p),1.

7、兩點(diǎn)分布,則有,四、重要概率分布的方差,2. 泊松分布,則有,3. 均勻分布,結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).,4. 指數(shù)分布,5. 正態(tài)分布,解,五、例題講解,例1,于是,解,例2,解,例3,解,例4,六、切比雪夫不等式,設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差 ，則對(duì)于任給 >0,,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期

8、望附近的可能性越大.,由此可體會(huì)方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.,當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v X與它的期望的偏差不小于 的概率的估計(jì)式 .,如取,可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差 存在，則 r.v X取值偏離E(X)超過(guò) 3 的概率小于0.111 .,例5 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~

9、9400之間的概率 .,解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X,依題意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求為 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P{ |X-E(X)| 2100},由切比雪夫不等式,P{ |X-E(X)| 2

10、100},即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9 .,例6 在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時(shí)，才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?,解：設(shè)X為n 次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，,E(X)=0.75n,,的最小的n .,則 X~B(n, 0.75),所求為滿(mǎn)足,D(X)=0.75*0.25n=0.1875

11、n,=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n),= P{ |X-E(X)| <0.01n},P(0.74n< X<0.76n ),可改寫(xiě)為,= P{ |X-E(X)| <0.01n},解得,依題意，取,即n 取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90 .,這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方差.,它是刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近離