[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第一章第一章4講

1、第四講,條件概率 (Conditional probability) 與乘法公式(Multiplication formula ),,在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.,一、條件概率,1. 條件概率的概念,如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).,一般 P(A|B) ≠ P(A),P(A )=1/6，,例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，,B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}

2、，,P(A|B)=？,已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中，,容易看到,P(A|B),P(A )=3/10，,又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 現(xiàn)從這10件中任取一件，記,B={取到正品},,A={取到一等品}，,P(A|B),P(A )=3/10，,B={取到正品},P(A|B)=

3、3/7,,本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.,A={取到一等品}，,計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.,這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.,若事件B已發(fā)生, 則為使 A也發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn) , 即此點(diǎn)必屬于AB. 由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B變成了新的樣本空間 , 于是 有

4、(1).,設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱 (1),2. 條件概率的定義,為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.,3. 條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證),設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則,1. 對任一事件A，0≤P(A|B)≤1;,2. P (S | B) =1 ；,而且，前面對概率所證明的一些重要性質(zhì)

5、都適用于條件概率.,請自行寫出.,,2)從加入條件后改變了的情況去算,4. 條件概率的計(jì)算,1) 用定義計(jì)算:,P(B)>0,P(A|B）=,B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù),在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),例1 擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10} B={第一顆擲出6點(diǎn)},應(yīng)用定義,在B發(fā)生后的縮減樣本空間

6、中計(jì)算,例2 設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？,解：設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上},依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求為P(B|A) .,由條件概率的定義：,即 若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、

7、乘法公式,若已知P(B), P(A|B)時(shí), 可以反求P(AB).,將A、B的位置對調(diào)，有,故 P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,注意P(AB)與P(A | B)的區(qū)別！,請看下面的例子,例3 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中3

8、00件是乙廠生產(chǎn)的. 而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？,所求為P(AB).,甲、乙共生產(chǎn)1000 個(gè),189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件,,300個(gè)乙廠生產(chǎn),設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標(biāo)準(zhǔn)件},所求為P(AB) .,設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標(biāo)準(zhǔn)件},若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B發(fā)生,在

9、P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.,條件概率P(A|B)( posteriorprobability)與P(A)(priorprobability)的區(qū)別,每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小.,P(A)與P(A |B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.,而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)

10、條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.,條件概率P(A|B)與P(A)數(shù)值關(guān)系,條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小. 那么,是否一定有:,或 P(A|B) P(A)?,P(A|B) P(A)?,請思考！！,當(dāng)P(A1A2…An-1)>0時(shí)，有P (A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1),推廣到多個(gè)事件的乘法公式:

11、,例4 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”.,乘法公式應(yīng)用舉例,一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球. 隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取

12、到白球且第三、四次取到紅球的概率.,（1 波里亞罐子模型）,于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球. ”,,隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.,解: 設(shè)Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4,Rj={第j次取出是紅球}， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,,,,,當(dāng) c>0 時(shí)，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.

13、 這是一個(gè)傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會增加再傳染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),(2抽簽) 一場精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.,5張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場券”，其余的什么也沒寫. 將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)人依次抽取.,“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大. ”

14、,后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？,到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場券”的概率到底有多大?,“大家不必爭先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到‘入場券’的機(jī)會都一樣大.”,“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大?！?我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場券” i＝1,2,3,4,5.,顯然，P(A1)=1/5

15、，P( )＝4/5,第1個(gè)人抽到入場券的概率是1/5.,也就是說，,則 表示“第i個(gè)人未抽到入場券”,因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場券，第1個(gè)人肯定沒抽到.,也就是要想第2個(gè)人抽到入場券，必須第1個(gè)人未抽到，,由于,由乘法公式,計(jì)算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.,同理，第3個(gè)人要抽到“入場券”，必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到. 因此,＝(4/5)(

16、3/4)(1/3)=1/5,繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到“入場券” 的概率都是1/5.,抽簽不必爭先恐后.,也就是說，,最后我們用本講內(nèi)容來解答囚犯和看守間關(guān)于處決誰是否要保密的問題.,監(jiān)獄看守通知三個(gè)囚犯, 在他們中要隨機(jī)地選出一個(gè)處決 , 而把另外兩個(gè)釋放. 囚犯甲請求看守秘密地告訴他,另外兩個(gè)囚犯中誰將獲得自由.,因?yàn)槲乙呀?jīng)知道他們兩人中至少有一人要獲得自由，所以你泄露這點(diǎn)消息是無妨的.,甲,如果你知道了你的同伙

17、中誰將獲釋，那么，你自己被處決的概率就由1/3增加到1/2,因?yàn)槟憔统闪耸Ｏ碌膬蓚€(gè)囚犯中的一個(gè)了.,乙,丙,NO！,對于看守的上述理由,你是怎么想的?,依題意，P(A)=1/3,,P(A| )=P(A)／[1-P(B)]=1/2,,P(A| )=1/2,,看守說得對.,甲,我們說，在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率一般地不等于A的無條件概率. 但是，會不會出現(xiàn)P(A)=P(A |B)的情形呢？這個(gè)問題留待下一講討論.,這一