選修4-2 矩陣與變換 第二節(jié) 矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量

1、 第二節(jié) 矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量 1．矩陣的逆矩陣 (1)一般地，設(shè) ρ 是一個線性變換，如果存在線性變換 σ，使得 σρ＝ρσ＝I，則稱變換 ρ可逆，并且稱 σ 是 ρ 的逆變換． (2)設(shè) A 是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣 B，使得 BA＝AB＝E，則稱矩陣 A 可逆，或稱矩陣 A 是可逆矩陣，并且稱 B 是 A 的逆矩陣． (3)(性質(zhì) 1)設(shè) A 是一個二階矩陣， 如果 A 是可逆的，則 A 的逆矩陣是唯一的，A 的

2、逆矩陣記為 A－1. (4)(性質(zhì) 2)設(shè) A，B 是二階矩陣，如果 A，B 都可逆，則 AB 也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1. (5)二階矩陣 A＝? ? ?? ? ? a bc d 可逆，當(dāng)且僅當(dāng) det A＝ad－bc≠0 時，A－1＝? ? ?? ? ? ddet A －b det A－c det A adet A. 2．二階行列式與方程組的解 對于關(guān)于 x，y 的二元一次方程組? ? ? ? ?ax＋by＝m，cx＋

3、dy＝n， 我們把? ? ?? ? ? a bc d 稱為二階行列式，它的運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)值，記為 det A＝? ? ?? ? ? a bc d ＝ad－bc. 若將方程組中行列式? ? ?? ? ? a bc d 記為 D，? ? ?? ? ? m bn d 記為 Dx，? ? ?? ? ? a mc n 記為 Dy，則當(dāng) D≠0 時，4．對任意實數(shù) x，矩陣? ? ?? ? ? x 3＋m2－m 2 總存在特征向量，則 m 的取

4、值范圍是________． 解析：由條件得 f(λ)＝? ? ?? ? ? λ－x －3－mm－2 λ－2＝(λ－x)(λ－2)－(m－2)(－3－m) ＝λ2－(x＋2)λ＋2x＋(m＋3)(m－2)＝0 有實數(shù)根， 所有 Δ1＝(x＋2)2－4(2x＋m2＋m－6)≥0 對任意實數(shù) x 恒成立， 所以 Δ2＝16＋4(4m2＋4m－28)≤0， 解得 m 的取值范圍是－3≤m≤2. 答案：－3≤m≤2. 5．已知矩陣 M 的特征值

5、λ1＝8 及對應(yīng)的一個特征向量 e1＝? ? ?? ? ? 11 ，并有特征值 λ2＝2 及對應(yīng)的一個特征向量 e2＝? ? ?? ? ? 1－2 .則矩陣 M＝________. 解析：設(shè) M＝? ? ?? ? ? a bc d ，則? ? ?? ? ? a bc d ? ? ?? ? ? 11 ＝8? ? ?? ? ? 11 ＝? ? ?? ? ? 88 ， 故? ? ? ? ?a＋b＝8，c＋d＝8， ? ? ?? ? ? a b

6、c d ? ? ?? ? ?1－2 ＝2? ? ?? ? ?1－2 ＝? ? ?? ? ?2－4 ， 故? ? ? ? ?a－2b＝2，c－2d＝－4， 聯(lián)立以上兩個方程組解得 a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故 M＝? ? ?? ? ? 6 24 4 . 答案：? ? ?? ? ? 6 24 4 熱點考向一 求逆矩陣 例1 求矩陣 A＝? ? ?? ? ? 3 22 1 的逆矩陣． 【解析】 法一：設(shè)矩陣 A 的逆矩陣為? ?