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1、,解方程(A-E)x = 0由,~,得基礎(chǔ)解系,例3 求矩陣,的特征值和特征向量,解 (1)由︱A-λE︱=0,求A的全部特征值。,得A的特征值為,(2)由(A-λE)x = 0,求A的特征向量。,當(dāng),時(shí),,解方程(A+E)x = 0,由,~,得基礎(chǔ)解系,所以對(duì)應(yīng)于,的全部特征向量為 ,,解方程(A-2E)x = 0 ,由,~,得基礎(chǔ)解系,例4 設(shè)λ是方陣A的特征值,,證 因?yàn)棣?/p>
2、是方陣A的特征值,設(shè)為P ≠0,使 AP = λP,于是,例5 設(shè)3階方陣A滿足,求A的特征值,解 設(shè)λ是A的特征值, x是 A 的關(guān)于 λ 所對(duì)應(yīng)的特征向量,則Ax = λx,從而,又 x≠0,,所以,從而,即 λ(λ-1)(λ-2) = 0,故 得A的特征值為:,例6 若λ是可逆陣A的特征值 , x 是 A的關(guān)于λ所對(duì)應(yīng)的特征向量,則,證,。,。,。,由上面
3、各例類推,不難證明,若 λ是A的特征值, 則λk是Ak的特征值,,例7 設(shè)有4階方陣A滿足︱A+3E︱=0,,解,四、特征值與特征向量的有關(guān)定理,定理2 設(shè) λ1,λ2,… ,λm 是A的m個(gè)特征值,p1, p2 ,… , pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量,若λ1,λ2,…,λm各不相同,則p1, p2,… ,pm線性無(wú)關(guān).,⑴,⑵,在(2)兩邊左乘A,,⑶,依次做下去,(m),將上面m個(gè)式子聯(lián)立成線性方程組,得向量方程組,由于系數(shù)行列
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