矩陣代數(shù)概述

1、矩陣代數(shù)概述一、基本定義一、基本定義定義1：矩陣：一個(gè)矩陣矩陣就是一個(gè)矩陣數(shù)組，更準(zhǔn)確地講，一個(gè)mn維矩陣就有m行和n列。正整數(shù)m被稱為行維數(shù)，n被稱為列維數(shù)。111212122212nnijmmmnaaaaaaAaaaa????????????????????????定義2：方陣方陣方陣具有相同的行數(shù)和列數(shù)。一個(gè)方陣的維數(shù)就是其行數(shù)和列數(shù)定義3：向量（1）一個(gè)1m的矩陣被稱為一個(gè)（m維）行向量行向量，并可記為：??12...mxxxx

2、?（2）一個(gè)n1的矩陣被稱為一個(gè)（n維）列向量列向量，并可記為：12nyyyy??????????????定義4：對角矩陣當(dāng)一個(gè)方陣A的非對角元素都為零時(shí)，它就是一個(gè)對角矩陣對角矩陣。我們總能將一個(gè)對角矩陣寫成：1122000000ijmnaaAaa????????????????????????定義5：單位矩陣和零矩陣（1）用I（或?yàn)榱藦?qiáng)調(diào)維數(shù)而用In）表示的nn單位矩陣單位矩陣就是對角位置都是1，而其它位置都是0的對角陣；10002

3、000nIIn????????????????????（2）一個(gè)用0表示的mn零矩陣零矩陣，就是所有元素都為零的mn矩陣。它并不一定是方陣。矩陣加法、數(shù)乘和矩陣乘法可以用各種方式組合，而且這些運(yùn)算還滿足幾個(gè)熟悉的基本數(shù)值運(yùn)算規(guī)則。在如下性質(zhì)表中，A，B和C都具有運(yùn)算所需要的適當(dāng)?shù)木S數(shù)，而?和?則是實(shí)數(shù)。這些性質(zhì)中的大多數(shù)都很容易從定義得到說明。矩陣乘法的性質(zhì)：(1)(??)A=?A?A(2)?(AB)=?A?B(3)(??)A=?(?A

4、)(4)?(AB)=(?A)B(5)AB=BA(6)(AB)C=A(BC)(7)(AB)C=A(BC)(8)A(BC)=ABAC(9)(AB)C=ACBC(10)IA=AI=A(11)A0=0A=A(12)AA=0(13)A0=0A=0(14)即使AB和BA都有定義，仍然會(huì)AB?BA對于最后一個(gè)性質(zhì)：如果A是一個(gè)nm矩陣，而B是一個(gè)mp矩陣，那么AB就有定義，而BA只有在n=p時(shí)，才有定義；如果A是一個(gè)mn矩陣，而B是一個(gè)nm矩陣，那么

5、AB和BA都有定義，但除非A和B都是方陣，否則它們具有不同的維數(shù)。即便A和B都是方陣，除非在特殊情況下，否則AB?BA仍成立。定義6：轉(zhuǎn)置令A(yù)=[aij]表示一個(gè)mn矩陣，用A（讀作A撇）表示A的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置，是將A的行和列互換后得到的nm矩陣。我們可以把它寫成A=[aji]。數(shù)值例子：略轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(1)(A)=A(2)(?A)=?A，?為任意數(shù)(3)(AB)=AB(4)(AB)=BA，A和B分別是mn和np矩陣(5)xx=?xi2，x是