彈性力學(xué) 第十一章 彈性力學(xué)的變分原理

1、1第十一章第十一章彈性力學(xué)的性力學(xué)的變分原理分原理知識點靜力可能的應(yīng)力彈性體的功能關(guān)系功的互等定理彈性體的總勢能虛應(yīng)力應(yīng)變余能函數(shù)應(yīng)力變分方程最小余能原理的近似解法扭轉(zhuǎn)問題最小余能近似解有限元原理與變分原理有限元原理的基本概念有限元整體分析幾何可能的位移虛位移虛功原理最小勢能原理瑞利里茨(RayleighRitz)法伽遼金(Гапёркин）法最小余能原理平面問題最小余能近似解基于最小勢能原理的近似計算方法基于最小余能原理的近似計算方法

2、有限元單元分析一、內(nèi)容介一、內(nèi)容介紹由于偏微分方程邊值問題的求解在數(shù)學(xué)上的困難，因此對于彈性力學(xué)問題，只能采用半逆解方法得到個別問題解答。一般問題的求解是十分困難的，甚至是不可能的。因此，開發(fā)彈性力學(xué)的數(shù)值或者近似解法就具有極為重要的作用。變分原理就是一種最有成效的近似解法，就其本質(zhì)而言，是把彈性力學(xué)的基本方程的定解問題，轉(zhuǎn)換為求解泛函的極值或者駐值問題，這樣就將基本方程由偏微分方程的邊值問題轉(zhuǎn)換為線性代數(shù)方程組。變分原理不僅是彈性力學(xué)

3、近似解法的基礎(chǔ)，而且也是數(shù)值計算方法，例如有限元方法等的理論基礎(chǔ)。本章將系統(tǒng)地介紹最小勢能原理和最小余能原理，并且應(yīng)用變分原理求解彈性力學(xué)問題。最后，將介紹有限元方法的基本概念。本章內(nèi)容要求學(xué)習(xí)變分法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，如果你沒有學(xué)過上述課程，請學(xué)習(xí)附錄3或者查閱參考資料。3顯然S=SuS?假設(shè)有一組應(yīng)力分量?ij在彈性體內(nèi)部滿足平衡微分方程在面力已知的邊界S?，滿足面力邊界條件這一組應(yīng)力分量稱為靜力可能的應(yīng)力。靜力可能的應(yīng)力未必是真實的應(yīng)力

4、，因為真實的應(yīng)力還必須滿足應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程，但是真實的應(yīng)力分量必然是靜力可能的應(yīng)力。為了區(qū)別于真實的應(yīng)力分量，我們用表示靜力可能的應(yīng)力分量。2、幾何可能的位移、幾何可能的位移假設(shè)有一組位移分量ui和與其對應(yīng)的應(yīng)變分量?ij，它們在彈性體內(nèi)部滿足幾何方程在位移已知的邊界Su上，滿足位移邊界條件這一組位移稱為幾何可能的位移幾何可能的位移。幾何可能的位移未必是真實的位移，因為真實的位移還必須在彈性體內(nèi)部滿足位移表示的平衡微分方程；在面力