彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識

1、,,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè)2 彈性力學(xué)基本概念3 彈性力學(xué)基本方程4 邊界條件,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè),工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍?；炯僭O(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。,基本假設(shè)的必要性,連續(xù)

2、性假設(shè)均勻性假設(shè)各向同性假設(shè)完全彈性假設(shè)小變形假設(shè)無初始應(yīng)力的假設(shè),1 彈性力學(xué)的基本假設(shè),1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 1. 連續(xù)性假設(shè),——假設(shè)所研究的整個彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿，各個質(zhì)點之間不存在任何空隙?！冃魏笕匀槐３诌B續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均為物體空間的連續(xù)函數(shù)。微觀上這個假設(shè)不成立——宏觀假設(shè)。,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 2.

3、均勻性假設(shè),—— 假設(shè)彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的。因此物體各個部分的物理性質(zhì)都是相同的，不隨坐標(biāo)位置的變化而改變。—— 物體的彈性性質(zhì)處處都是相同的。工程材料，例如混凝土顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的的幾何形狀，并且在物體內(nèi)部均勻分布，從宏觀意義上講，也可以視為均勻材料。對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 3. 各向同性假設(shè),——假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質(zhì)，這就是說物

4、體的彈性常數(shù)將不隨坐標(biāo)方向的改變而變化。 ——宏觀假設(shè)，材料性能是顯示各向同性。當(dāng)然，像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料。——這些材料的研究屬于復(fù)合材料力學(xué)研究的對象。,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 4. 完全彈性假設(shè),——對應(yīng)一定的溫度，如果應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全彈性材料。完全彈性分為線性和非線性彈性，彈性力學(xué)研究限于線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系。研究對象

5、的材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 5. 小變形假設(shè),——假設(shè)在外力或者其他外界因素（如溫度等）的影響下，物體的變形與物體自身幾何尺寸相比屬于高階小量?！趶椥泽w的平衡等問題討論時，可以不考慮因變形所引起的尺寸變化?！雎晕灰啤?yīng)變和應(yīng)力等分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組。,1 彈性力學(xué)的基本假設(shè) 6. 無初始應(yīng)力假設(shè),——假設(shè)物體處于自然狀態(tài)，即在外界因素作

6、用之前，物體內(nèi)部沒有應(yīng)力。彈性力學(xué)求解的應(yīng)力僅僅是外部作用（外力或溫度改變）產(chǎn)生的。,彈性力學(xué)的基本假設(shè)，主要包括彈性體的連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全彈性和小變形假設(shè)等。這些假設(shè)都是關(guān)于材料變形的宏觀假設(shè)。彈性力學(xué)問題的討論中，如果沒有特別的提示，均采用基本假設(shè)。這些基本假設(shè)被廣泛的實驗和工程實踐證實是可行的。,載荷是外界作用在彈性體上的力，又稱外力。它包括體力、面力和集中力三種形式。體力 分布在物體整個體積內(nèi)的外力如

7、重力，慣性力，電磁力等。體力矩陣表示為 𝑷 𝒗 = 𝑷 𝒗𝒙 𝑷 𝒗𝒚 𝑷 𝒗𝒛 𝑻 面力 分布在物體表面上的外力，如液體壓力、風(fēng)力和接觸力等。面力矩陣表示為 𝑷 𝒔 = &#

8、119927; 𝒔𝒙 𝑷 𝒔𝒚 𝑷 𝒔𝒛 𝑻 集中力 如果外力作用面很小，則可視為外力作用在物體表面的某一點。體力矩陣表示為 𝑷 𝒄 = 𝑷 𝒄𝒙 𝑷 ү

9、40;𝒚 𝑷 𝒄𝒛 𝑻,物體承受外力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，為了顯示出這些內(nèi)力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分：,其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。,取截面的一部分，它的面積為ΔA，,為物體在該截面上ΔA點的應(yīng)力。,平均集度為ΔQ/ΔA，其極限,作用于其上的內(nèi)力為ΔQ，,通常將應(yīng)力沿垂直于

10、截面和平行于截面兩個方向分解為,,,S,,,σ,τ,正應(yīng)力σ,切應(yīng)力τ,應(yīng)力分量,應(yīng)力不僅和點的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)。描述應(yīng)力，通常用一點平行于坐標(biāo)平面的單元體，各面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的分量來表稱為應(yīng)力分量。,物體內(nèi)各點的內(nèi)力平衡，因此相對平面上的應(yīng)力分量大小相等，方向相反。,應(yīng)力分量,符號規(guī)定：圖示單元體面的法線為y,稱為y面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。正應(yīng)力記為 ,沿y軸的正向為正,其下標(biāo)表示所沿坐標(biāo)

11、軸的方向。,平行于單元體面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用τyx 、τyz表示，其第一下標(biāo)y表示所在的平面，第二下標(biāo)x、y分別表示沿坐標(biāo)軸的方向。如圖示的τyx、τyz,,,,σy,τyx,τyz,,,,x,y,z,o,外力作用下彈性體將產(chǎn)生變形，因此微分體棱邊的長度以及它們之間的夾角將發(fā)生變化。各棱邊每單位長度的伸縮量稱為正應(yīng)變（normal strain），各棱邊之間的直角改變則稱為剪應(yīng)變（shear strain）。剪應(yīng)變以直角減小為正，增大

12、為負(fù)，應(yīng)變無量綱。幾何意義如圖,應(yīng)力矩陣,應(yīng)變矩陣,彈性體變形實際上是彈性體內(nèi)質(zhì)點的位置變化，質(zhì)點位置的改變稱為位移（displacement）。位移可分解為x、y、z三個坐標(biāo)軸上的投影，稱為位移分量。沿坐標(biāo)軸正方向的位移分量為正，反之為負(fù)。位移的矩陣表示為彈性體發(fā)生變形時，各質(zhì)點的位移不一定相同，因此位移也是x、y、z的函數(shù)。,平衡方程是彈性體內(nèi)部必須滿足的條件，它6個應(yīng)力分量不是獨立的，它們通過3個平衡方程相互聯(lián)系,幾何方程描

13、述幾何量應(yīng)變和位移之間的關(guān)系,可寫成矩陣形式為,6個應(yīng)變分量可用該點的3個位移分量表示，因此6個應(yīng)變分量也不是獨立的,物理方程描述應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系，這種關(guān)系與材料的物理特性有關(guān)。物理方程共有6個，其形式為,1，沒有正應(yīng)力，沒有正應(yīng)變2，沒有正應(yīng)變，沒有正應(yīng)力3，沒有應(yīng)變，沒有位移4，沒有位移，沒有應(yīng)變,物理方程寫成矩陣形式,簡記為,其中，［Ｄ］為彈性矩陣，它完全取決于彈性系數(shù)Ｅ和μ。,15個方程,幾何方程,物理方程

14、,平衡方程,彈性力學(xué)基本方程,由上可見，三類基本方程共包含15個方程，含6個應(yīng)力分量，6個應(yīng)變分量和3個位移分量，共15個未知量，因而原則上可以解出15個物理量。實際求解時并不是同時求出全部未知量，而是先求出一部分（稱為基本未知量），再通過基本方程求出其他未知量。根據(jù)基本未知量的選法不同，也就產(chǎn)生了3中不同的解題方法——位移法，應(yīng)力法和混合法。,彈性力學(xué)的基本未知量： 位移分量，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量?；痉匠蹋浩胶馕⒎址匠?，幾何方程和物

15、理方程。 要使基本方程有確定的解，還要有對應(yīng)的面力或位移邊界條件。 邊界條件一般分為：靜力（面力）邊界條件、位移邊界條件和混合邊界條件。  彈性力學(xué)的任務(wù)：就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。,靜力（面力）邊界條件,靜力邊界條件：結(jié)構(gòu)在邊界上所受的面力與應(yīng)力分量之間的關(guān)系 。由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用， 設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz ，物體外表面法線