協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

1、如何通俗易懂地解釋如何通俗易懂地解釋「協(xié)方差協(xié)方差」與「相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)」的概的概念？念？其背后的原理為何可以達(dá)到衡量「相關(guān)性」的效果？1條評(píng)論分享5個(gè)回答個(gè)回答傅渥成傅渥成，統(tǒng)計(jì)物理復(fù)雜系統(tǒng)生物物理184人贊同看到這個(gè)問題，馬上想到我那天回答的另一個(gè)問題了。我們?cè)诳坍嬤@個(gè)世界之間的各種關(guān)系的時(shí)候，常常會(huì)希望度量“距離”：1.對(duì)于空間中的兩個(gè)點(diǎn)，我們可以用勾股定理定義平方和作為距離；2.對(duì)于兩個(gè)二進(jìn)制序列，或者兩段基因序列，我們可以用漢

2、明距離來度量二者之間的差異，作為“距離”；3.那么假如對(duì)于兩個(gè)復(fù)雜的量（描述這兩個(gè)量可能用很多很多的參數(shù)），那么這時(shí)候怎樣度量二者之間的“相關(guān)性”呢？按照真正的邏輯順序來講，應(yīng)該是這樣講的：把所有的這些復(fù)雜的參數(shù)排成一列，就拍成了一個(gè)向量，很多很多的這樣的向量構(gòu)成了一個(gè)向量空間。向量空間里面的東西沒有“距離”這樣的概念，對(duì)于一個(gè)向量空間里面的向量，甚至沒有“長度”這樣的概念，因?yàn)橄蛄靠臻g只是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，沒有度量或者拓?fù)涞母拍钤谄渲校?/p>

3、這時(shí)候怎樣度量向量的長度來呢？接下來，又怎樣來確定兩個(gè)向量之間的“距離”呢？對(duì)于一個(gè)可以定義距離的結(jié)構(gòu)（度量空間），我們需要有一些要求，認(rèn)為滿足這些要求的一個(gè)函數(shù)就可以認(rèn)為是距離，例如我們要求：A到B的距離等于B到A的距離，A到A的距離等于0，兩個(gè)點(diǎn)之間的距離非負(fù)，三角不等式。那么對(duì)于一個(gè)向量空間，怎樣可以最自然地給它一個(gè)“范數(shù)”，使得它有可能推廣到一個(gè)距離空間（度量空間）呢？最自然的方法就是引入“內(nèi)積”的概念了，通過內(nèi)積的運(yùn)算，得到內(nèi)

4、積空間，再用內(nèi)積來定義距離（范數(shù)），于是也就有可能得到距離空間。為什么內(nèi)積空間可以變成一個(gè)度量空間呢？這就是我在“學(xué)一門課的時(shí)候，要注意理解和思考，不要一味的背公式，背習(xí)題是什么意思？”這個(gè)問題里面，我反復(fù)用到了Cauchy不等式，目的也正在此。Cauchy不等式為我們提供了判斷兩個(gè)向量是否相關(guān)的方案：(a?b)|a||b|可以作為度量相關(guān)性的一個(gè)函數(shù)，而它的直觀意義是什么，請(qǐng)看下面。協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)是緊密相關(guān)的，二者都是用來描述兩個(gè)連

5、續(xù)變量的線性相關(guān)關(guān)系。本答案先簡要闡述相關(guān)概念，再具體闡述幾何上的理解，最后提出一點(diǎn)個(gè)人看法。簡要闡述如下：簡要闡述如下：一.協(xié)方差只表示線性相關(guān)的方向，取值正無窮到負(fù)無窮。也就是說，協(xié)方差為正值，說明一個(gè)變量變大另一個(gè)變量也變大；取負(fù)值說明一個(gè)變量變大另一個(gè)變量變小，取0說明兩個(gè)變量沒有相關(guān)關(guān)系。注意：協(xié)方差的絕對(duì)值不反映線性相關(guān)的程度（其絕對(duì)值與變量的取值范圍有關(guān)系）。二.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)不僅表示線性相關(guān)的方向，還表示線性相關(guān)的程度

6、，取值不僅表示線性相關(guān)的方向，還表示線性相關(guān)的程度，取值[11]。也就是說，相關(guān)系數(shù)為正值，說明一個(gè)變量變大另一個(gè)變量也變大；取負(fù)值說明一也就是說，相關(guān)系數(shù)為正值，說明一個(gè)變量變大另一個(gè)變量也變大；取負(fù)值說明一個(gè)變量變大另一個(gè)變量變小，取個(gè)變量變大另一個(gè)變量變小，取0說明兩個(gè)變量沒有相關(guān)關(guān)系。同時(shí)，相關(guān)系數(shù)的說明兩個(gè)變量沒有相關(guān)關(guān)系。同時(shí)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近絕對(duì)值越接近1，線性關(guān)系越顯著。，線性關(guān)系越顯著。通常情況下，當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕

7、對(duì)值大于通常情況下，當(dāng)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大于2sqrt(N)，N為樣本點(diǎn)的數(shù)量時(shí)，我們認(rèn)為樣本點(diǎn)的數(shù)量時(shí)，我們認(rèn)為線性關(guān)系是存在的。為線性關(guān)系是存在的。三.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系協(xié)方差的公式為相關(guān)系數(shù)的公式為，其中Sx，Sy分別表示x和y的標(biāo)準(zhǔn)差。由兩者的相關(guān)關(guān)系，可以看出為什么相關(guān)系數(shù)比協(xié)方差多闡述了線性相關(guān)的程度：原因在于協(xié)方差和大小和x，y的取值范圍緊密相關(guān)，舉個(gè)例子，x，y都取值[10001000]或都取值[0.0010.001]