九章算術(shù)-劉徽

1、九章算術(shù)提要九章算術(shù)九卷，不詳作者名氏。九章算術(shù)是一部現(xiàn)在有傳本的、最古老的中國數(shù)學(xué)書，它的編纂年代大約是在東漢初期。書中收集了二百四十六個應(yīng)用問題的解法，分別隸屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、句股九章。春秋、戰(zhàn)國時期社會生產(chǎn)力的逐漸提高，促進(jìn)了數(shù)學(xué)知識和計(jì)算技能的發(fā)展。當(dāng)時各國的統(tǒng)治階級要按畝收稅，必須有測量土地、計(jì)算面積的方法；要儲備糧食，必須有計(jì)算倉庫容積的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必須能

2、計(jì)算工程人功；要修訂一個適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的曆法，必須能運(yùn)用有關(guān)的天文數(shù)據(jù)。那時的百姓掌握了相當(dāng)豐富的、由日常生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識和計(jì)算技能。雖然沒有一本先秦的數(shù)學(xué)書流傳到後世，但無可懷疑的是九章算術(shù)方田、粟米、衰分、少廣、商功等章中的題解方法，絕大部分是產(chǎn)生於秦以前的。漢書藝文志術(shù)數(shù)類著錄有許商算術(shù)二十六卷，杜忠算術(shù)十六卷，這兩部算術(shù)雖早已失傳，應(yīng)該是東漢初編纂的九章算術(shù)的前身，它們的主要教材應(yīng)當(dāng)被保存於九章算術(shù)各章之內(nèi)。周禮大司徒篇說：「

3、保氏掌諫王惡而養(yǎng)國子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數(shù)。」這是說，主持貴族子弟教育的保氏以禮、樂、射、馭、書、數(shù)為「小學(xué)」的六門課程，每一門課程又各有若干細(xì)目，例如「數(shù)」學(xué)中有九個細(xì)目。但在周禮裏沒有把「九數(shù)」列舉出來，我們就無法考證它的內(nèi)容。漢武帝時這部周禮開始受到經(jīng)學(xué)家的注意。到東漢時期，鄭眾、馬融等都為「九數(shù)」作了注解。東漢末鄭玄周禮注引鄭眾說：「九數(shù)：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、

4、方程、贏不足、旁要，今有重差、句股?！故聦?shí)上，鄭眾所說「九數(shù)」者的思考。他在注中一方面整理九章算術(shù)各個問題的解法，理論上屬於一類的使它們歸於一類，提綱挈領(lǐng)地闡明所以能解的道理。在另一方面，對於原來所有不夠準(zhǔn)確的近似計(jì)算，他提出了更精確的計(jì)算方法。例如九章算術(shù)原術(shù)取用三為圓周率，他通過了圓內(nèi)接正三百八十四邊形和正三千零七十二邊形面積的嚴(yán)密計(jì)算，得到圓周率的近似值，五十分之一百五十七，或一千二百五十分之三千九百二十七。又如開平方或開立方不盡

5、時（平方根或立方根為無理數(shù)），原有以分?jǐn)?shù)表示奇零部分的方法不甚準(zhǔn)確，他主張繼續(xù)開方，得出以十進(jìn)分?jǐn)?shù)表示平方根或立方根的近似值。此外，他創(chuàng)立許多新的解題方法，例如盈不足章第十九題的等差級數(shù)求和法，方程章第七題的互乘相消法，第九題的消去常數(shù)項(xiàng)法，句股章第十六題的內(nèi)切圓徑公式等等，都比原術(shù)簡便。唐李淳風(fēng)等對劉徽注本九章算術(shù)作了一些解釋，原有劉注意義十分明確的不再補(bǔ)注，盈不足、方程二章就沒有他們的注釋。九章算術(shù)所有與圓面積有關(guān)的問題，都取圓周率

6、三計(jì)算，劉徽注以為應(yīng)取五十分之一百五十七，李淳風(fēng)等補(bǔ)注認(rèn)為可以用七分之二十二計(jì)算，這是對的。但七分之二十二是祖沖之的所謂「約率」，而李淳風(fēng)等引用此率，稱它為「密率」。後世人誤認(rèn)七分之二十二為「密率」的很多，這是李注的謬種流傳。少廣章開立圓術(shù)，李淳風(fēng)等注釋引祖之說，介紹球體積公式的理論基礎(chǔ)。綴術(shù)書失傳後，祖沖之父子對於球體積的研究，幸有李淳風(fēng)等的徵引而得流傳到現(xiàn)在。劉、李注本九章算術(shù)到北宋仁宗時有賈憲所撰的細(xì)草，原書早已失傳，但永樂大典中