《數(shù)學(xué)史》周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》

1、日照東方—古代與中世紀的東方數(shù)學(xué),一、中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)二、印度數(shù)學(xué)三、阿拉伯數(shù)學(xué)四、中國與印度、阿拉伯的數(shù)學(xué)交流,第三章 中世紀的中國數(shù)學(xué),希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個中世紀的歐洲湮沒不彰。數(shù)學(xué)史上繼希臘幾何興盛時期之后是一個漫長的東方時期。中世紀（公元5-17世紀）數(shù)學(xué)的主角，是中國、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)。,與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強烈的算法精神，特別是中國與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括，不講究命

2、題的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。,就繁榮時期而言，中國數(shù)學(xué)在上述三個地區(qū)是延續(xù)最長的。從公元前后至公元14世紀，先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期以及宋元時期，其中宋元時期達到了中國古典數(shù)學(xué)的頂峰。,3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》,3.1.1 古代背景,,第一章中已涉及了中國遠古數(shù)與形概念的萌芽。殷商甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現(xiàn)嚴格的十進位值制籌算記數(shù)。,《孫子算經(jīng)》中記載的籌算記數(shù)法則說：“凡算之

3、法，先識其位。一縱十橫，百立千僵。千十相望，百萬相當”。,縱式用來表示個位、百位、萬位，……數(shù)字；橫式用來表示十位、千位、十萬位、……數(shù)字?？v、橫相間，零則以空位表示。這樣，數(shù)76 031用算籌表示出來是 。這種十進位值記數(shù)法是中國古代數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻。,關(guān)于幾何學(xué)，《史記》“夏本紀”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準繩”。“規(guī)”是圓規(guī)，“矩”是直尺，“準繩”則是確定鉛垂方向的器械。,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,社

4、會歷史背景條件 相對封閉的疆域 大河背景下的農(nóng)耕文化 集中的王權(quán) 中國數(shù)學(xué)的特點 形成了以計算為核心的算法理論 具有濃郁應(yīng)用色彩 中國數(shù)學(xué)的成就 第一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》（大約公元前200年左右） 公元3世紀至13世紀，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的眾多數(shù)學(xué)成果,形成國家數(shù)學(xué)教育的體制,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期

5、，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測量工具。據(jù)《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。,商代(

6、又稱殷代，約公元前17世紀～約前11世紀)：1899年在河南安陽發(fā)掘出來的殷墟龜甲和獸骨上所刻的象形文字(甲骨文，公元前14世紀)。 自然數(shù)的記法：10進位制，最大的數(shù)字是3萬。,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。,太極八卦圖,,“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦

7、。”,圖中每個陽、陰爻分別代表數(shù)9與數(shù)6，其中數(shù)字的配置依照“九六”說，是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為45。它與洛書中1至9的數(shù)字之和相同,周(約公元前11世紀～公元前256年)：奴隸制經(jīng)濟獲得進一步的發(fā)展. “數(shù)”作為六藝之一，開始形成一個學(xué)科。 算籌記數(shù)和四則運算已經(jīng)開始    春秋戰(zhàn)國時期：人們已經(jīng)能熟練地進行籌算。,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,,“數(shù)學(xué)”一詞相當

8、于我國古代的“算術(shù)” 數(shù)學(xué)一詞，在中國最早出現(xiàn)在12世紀宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之源者，是數(shù)學(xué)”。,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。儒家以“九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以《周易》象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托.墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨經(jīng)》的邏輯學(xué)為其論

9、說的工具。名家認為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。 《九章算術(shù)》中的名題：“女子善織，日子倍”。,名家,戰(zhàn)國時諸子百家之一。先秦時期以辯論名實問題為中心的一個思想派別,重視“名”(概念)和“實”(事)的關(guān)系的研究。 以正名辨義為主，主要代表為鄧析 、惠施

10、、公孫龍等?！肚f子·天下》有名家辯辭的記錄?！妒酚?#183;太史公自序》：“名家苛察繳繞……故曰‘使人儉而善失真’。”《漢書·藝文志》：“名家者流，蓋出於禮官?！?梁啟超 《論諸家之派別》：“名家言起於鄭之鄧析 ，而宋之惠施及趙之公孫龍大昌之?！?中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,墨家認為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。墨家是中國古代主要

11、哲學(xué)派別之一，約產(chǎn)生于戰(zhàn)國時期。創(chuàng)始人為墨翟。墨家是一個紀律嚴密的學(xué)術(shù)團體，其首領(lǐng)稱“矩子”，其成員到各國為官必須推行墨家主張，所得俸祿亦須向團體奉獻。墨家學(xué)派有前后期之分，前期思想主要涉及社會政治、倫理及認識論問題；后期墨家在邏輯學(xué)方面有重要貢獻 。,,,,,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。,中

12、國古代數(shù)學(xué)的萌芽,名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對中國古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。,《墨經(jīng)》:點、線、面、方、圓等幾何概念《考工記》:分數(shù)比例、角度大小的區(qū)分、標準容器的計算等《荀子》《管子》: “九九”乘法口訣。《春秋》: “初稅畝”，測量田畝面積和計算的方法?！肚f子·天下篇》:“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，樸素的

13、 極限觀念。,《墨經(jīng)》：點：端,體之無厚而最前者也;直線：直, 參也;圓：圓, 一中同長也.,《史記》:齊威王與田忌賽馬,對 策論的最早例證。,3.1.2《周髀算經(jīng)》,在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，《周髀算經(jīng)》是最早的一部。 作者不祥，成書年代應(yīng)不晚于公元前2世紀西漢時期，但書中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識，有的可追溯到西周（公元前11世紀-前8世紀）。這部著作實際上是從數(shù)學(xué)上討論“蓋天說”（天圓地方）宇

14、宙模型，反映了中國古代數(shù)學(xué)與天文學(xué)的密切聯(lián)系。從數(shù)學(xué)上看，《周髀算經(jīng)》主要的成就是分數(shù)運算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。,“周髀”是測量日影的工具—八尺長竿,蓋天說,勾股定理,宋版書影,日高術(shù),《周髀算經(jīng)》: 數(shù)學(xué)著作,天文學(xué)著作.  “蓋天說”的代表.  約成書于西漢時期(公元前2世紀).  數(shù)學(xué)內(nèi)容:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比

15、較復(fù)雜的分數(shù)計算等.,《周髀算經(jīng)》,蓋天說認為大地象個平面，天象口大鍋扣在地上。注：到西漢時期，有蓋天說、渾天說和宣夜說。渾天說認為天是球形的，大地在中間。宣夜說認為宇宙是無限的空間，天體浮生于其中，其運動需要“氣”的作用。,,,第一卷　敘述了西周開國時期（約公元前1100年）周公商高的問答：,,《周髀算經(jīng)》上卷 :勾股定理的證明,昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，

16、請問數(shù)安從出？” 　　商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”,“勾廣三,股修四,徑隅五”,商高定理-----勾股定理,返回,“……以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日.”,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,周人的測日影表古代認為夏至?xí)r立一8尺高的標竿，它

17、的影長正好是6尺?！扒笮爸寥照?，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬里?！?日高公式（重差術(shù)）：,影差d =后影長BD — 前影長AC = b — a,表距AB = e,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,第二章 敘述陳子榮方的對話。陳子是周代的天文算學(xué)家，榮方是當時天文算學(xué)的愛好者。榮方對陳子的數(shù)學(xué)才能很羨慕，十分虛心地向陳子求教。陳子教給榮方學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的方法，同時還教給榮方具體解決問題的方

18、法。,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,關(guān)于數(shù)學(xué)特點。榮方請教陳子：“今者竊聞夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，遠近之數(shù)，人所望見，四極之窮，列星之宿，天地之廣，夫子之道皆能知之。其信有之乎？”陳子曰：“然，引皆算術(shù)之所及。”陳子又曰：“……此亦望遠起高之術(shù)，……夫道術(shù)，言約而用博……”,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,關(guān)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法陳子對榮方說：“思之未熟?！瓌t子之于數(shù)，未能通類。……問一類而以萬事達者，謂之知道?！?“夫道術(shù)

19、所以難通者，既學(xué)矣，患其不博。既博矣，患其不習(xí)。既習(xí)矣，患其不能知?！?古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,關(guān)于學(xué)習(xí)態(tài)度?！胺?qū)W同業(yè)而不能入神者，此不肖無智而業(yè)不能精習(xí)。”,中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是公元3世紀三國時期的趙爽（吳）。趙爽注《周髀算經(jīng)》，作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當于運用面積的出入相補證明了勾股定理。,考察以一直角三角形的勾和股為邊的兩個正方形的合并圖形，其面積應(yīng)有 如果將這合

20、并圖形所含的兩個三角形移補到圖中所示的位置，將得到一個以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應(yīng)為 ，因此,勾股定理的證明,弦 圖,古代數(shù)學(xué)家趙爽,趙爽，又名嬰，字君卿，中國數(shù)學(xué)家。東漢末至三國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家。生平不詳，約生活于公元3世紀初。趙爽的《周髀算經(jīng)注》逐段解釋《周髀》經(jīng)文。,,,,,古代數(shù)學(xué)家趙爽,趙爽自稱負薪余日，研究《周髀》，遂為之作注，可見是一個未脫離體力勞動

21、的天算學(xué)家。,3.1.3《九章算術(shù)》,《九章算術(shù)》是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作。成書年代至遲在公元前1世紀，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。 《周禮》記載,西周貴族子弟必學(xué)的六門課程（“六藝”）中有一門是“九數(shù)”，劉徽《九章算術(shù)注》“序”中就稱《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼（?-公元前152）、耿壽昌等人刪補。,《九章算術(shù)》采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章。,中國古代數(shù)學(xué)體系形成,《九章

22、算術(shù)》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來說，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分數(shù)四則運算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完

23、全不同的獨立體系。,中國古代數(shù)學(xué)體系形成,秦漢時期強調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。成書于東漢初年的《九章算術(shù)》，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題及其解法。 《九章算術(shù)》有幾個顯著的特點：采用按類分章的數(shù)學(xué)問題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。,《九章算術(shù)》的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來的。劉徽稱：“

24、周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”。,《九章算術(shù)》標志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識體系已初步形成。　代表了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點：注重實際問題的數(shù)值計算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨有的計算工具和程序化計算方法,明代刊印的《九章算術(shù)注》,中國古代數(shù)學(xué)體系形成,《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數(shù)學(xué)教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印

25、度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。,1.方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界 上最早對分數(shù)進行系統(tǒng)敘述的著作。 2.粟米：組好事糧食交易的計算方法，其中涉及許多比 例問題。 3.衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。 4.少廣：主要講開平方和開立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學(xué)問題，以體 積的

26、計算為主。 6.均輸：計算稅收等更加復(fù)雜的比例問題。 7.盈不足：雙設(shè)法的問題。 8.方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負數(shù)的加減 法，在世界數(shù)學(xué)史上是第一次出現(xiàn)。 9.勾股：勾股定理的應(yīng)用。,《九章算術(shù)》的內(nèi)容,(一）算術(shù)方面,（1）分數(shù)四則運算法則?！毒耪滤阈g(shù)》“方田”章給出了完整的分數(shù)加、減、乘、除以及約分和通分運算法則。,“約分術(shù)：可半者半之．不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減

27、多，更相減損，求其等也．以等數(shù)約之．”,（2）比例算法?！毒耪滤阈g(shù)》“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法。,a: b=c: x,設(shè)從比例關(guān)系,求x, 《九章算術(shù)》稱a為“所有率”，b為“所求率”，c為“所有數(shù)”，x為“所求數(shù)”。今有術(shù)相當于,“今有術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實，以所有率為法．實如法而一．”,以“今有術(shù)”為基礎(chǔ)，“衰分”章處理正、反比例分配問題，“衰分”就是按一定級

28、差分配?！熬敗闭聞t運用比例分配解決糧食運輸負擔(dān)的平均分配。,（3）盈不足術(shù)。“盈不足”術(shù)是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。,《九章算術(shù)》中典型的盈虧類問題如： 今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價各幾何？,一般地假設(shè)人數(shù)為 ，物價為 ，每人出錢 盈 ，出錢 不足 。《九章算術(shù)》“盈不足術(shù)”相當于給出解法：,“盈不足術(shù)曰：置所出率，盈、不足各

29、居其下．令維乘所出率，并，以為實．并盈、不足為法．實如法而一．盈、不足相與同其買物者，置所出率，以少減多．余，以約法、實．實為物價，法為人數(shù)．”,,分兩部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，其公式是：,．,第二部分是求人數(shù)、物價的公式：,任何算術(shù)問題（不一定是盈虧類問題），通過兩次假設(shè)未知量的值，都可以轉(zhuǎn)換成盈虧類問題來求解?！毒耪滤阈g(shù)》“盈不足”章就用這種方法解決了許多不屬于盈虧類的問題。,“盈不足術(shù)”在中世紀阿拉伯數(shù)學(xué)著作中稱為“

30、契丹算法”，即中國算法。,（二）代數(shù)方面,（1）方程術(shù)?！胺匠绦g(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法。,以“方程”章第1題為例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問：上、中、下禾實一秉各幾何？”,答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三．,方程術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方．中、

31、左禾列如右方．以右行上禾遍乘中行而以直除．又乘其次，亦以直除．然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除．左方下禾不盡者，上為法，下為實．實即下禾之實．求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實．余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實．求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實．余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實．實皆如法，各得一斗．”,題中“禾”為黍米(黍,音“署”)，“秉”指捆，“實”是打下來的糧食。設(shè)上、中、下、禾各一秉打出的糧食分別為

32、 （斗），則問題就相當于解一個三元一次聯(lián)立方程組：,《九章算術(shù)》沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將 的系數(shù)和常數(shù)項排列成一個方陣（如圖,其中已將籌算數(shù)碼換作阿拉伯數(shù)碼），這就是“方程”一詞的來源。 “方程術(shù)”的關(guān)鍵算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：,用圖(i)右行上禾 的系數(shù)3“遍乘”中行和左行各數(shù)，然后從所得結(jié)果按行分別“直除”右行，即連續(xù)減去右行各數(shù)，就得到圖(ii)所示的新方程。,其次以

33、圖(ii)中行中禾 的系數(shù)5遍乘左行各數(shù)，從所得結(jié)果直除中行并約分，右得到圖(iii)所示的新方程。其中左行未知量系數(shù)只剩一項，以4除11，即得下禾 （斗）。,為求上禾 和中禾 ，重復(fù)“遍乘直除”程序。以圖(iii)左行下禾 的系數(shù)4遍乘中行和右行各數(shù)，從所得結(jié)果按行分別直除左行并約分，最后得到圖(iv)所示的新方程。由此方程計算得,上禾 ，中禾

34、 ，下禾 。,《九章算術(shù)》方程術(shù)的遍乘直除算法，實質(zhì)上就是我們今天所使用的解線性聯(lián)立方程組的消元法，西方文獻中稱之為“高斯消去法”。,（2）正負術(shù)。《九章算術(shù)》在代數(shù)方面的另一項突出貢獻是負數(shù)的引進。,《九章算術(shù)》正是在“方程”章中提出了“正負術(shù)”，即正、負數(shù)的加減運算法則： “同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之?！?對負數(shù)的認識是人

35、類數(shù)系擴充的重大步驟。如果說古希臘無理量是演繹思維的發(fā)現(xiàn)，那么如前所述可以看到，中算負數(shù)則是算法思維的產(chǎn)物。,(3) 開方術(shù)。《九章算術(shù)》“少廣”章有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法?！毒耪滤阈g(shù)》開方術(shù)本質(zhì)上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。,《九章算術(shù)》開方術(shù)實際上包含了二次方程 的數(shù)值求解程序，稱為“開帶從平方法”。,稍后的劉徽在“開方術(shù)注”中

36、明確提出了用十進制小數(shù)任意逼近不盡根數(shù)的方法，他稱之為求微數(shù)法，并指出在開方過程中，“其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數(shù)，不足言之也.”,《九章算術(shù)》開方術(shù)中特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形：“若開之不盡者，為不可開”，并給這種不盡根數(shù)起了一個專門的名字—“面”。,開方術(shù): 開平方和開立方的算法,本質(zhì): 減根變換,過程: 開方術(shù)相當于解方程: x2=A. 設(shè)解 x 是一個 k 位數(shù) , 令

37、x=10k -1x1 , 方程變?yōu)? 102k -2x12 = A , 儀得x1的整數(shù)部分, 記為 , 令 ,則方程變?yōu)? ,其中,再議得x2的整數(shù)部分,記為 ,令 , 則方程變?yōu)?

38、 , 其中上述過程一直下去.,二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法”.“開方術(shù)” 指出了開方有開不盡的情形： “若開之不盡者，為不可開”。 不盡根數(shù)專門的名字——面,（三）幾何方面,《九章算術(shù)》“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論面積問題，“商功”章討論體積問題，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。,各種幾何圖形的名稱就反映著它們的現(xiàn)實來源。如平面圖形有“方田”（正方形）

39、、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圓田”（圓）、“弧田”（弓形）、“環(huán)田”（圓環(huán)）等；立體圖形則有“倉”（長方體）、“方亭”（平截頭方錐）、“陽馬”（底面為長方形而有一棱與地面垂直的錐體）以及“芻童”（上、下底面都是長方形的棱臺）等等。,,第一章名為”方田“，列題38個，立術(shù)21條，主要講平面幾何圖形面積的計算方法，包括分數(shù)算法。,《九章算術(shù)》,例　“有田廣二里，從三里。問為田幾何?！贝鹪唬憾曃?/p>

40、十畝。里田術(shù)曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。,,,注：當時稱長方形為方田或直田,《九章算術(shù)》,例　“今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？”答曰：一百二十六步。術(shù)曰：半廣以乘正從。,,注：當時稱三角形為圭田,《九章算術(shù)》,例　“今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四。問為田幾何？”答曰：九畝一百四十四步。術(shù)曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并。畝法而一。,,注：直角梯形稱為

41、“邪田”(即斜田),《九章算術(shù)》,例　“今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從十步。問為田幾何？”答曰：一畝一百三十五步。術(shù)曰：并踵、舌而半之，以乘正從。畝法而一。,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,例　“今有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。問為田幾何？”答曰：十一畝九十二分步之一。術(shù)曰：半周半徑相乘得積步。又術(shù)曰：周、徑相乘，四而一。又術(shù)曰：徑自乘，三之，四而一。又術(shù)曰：周自相乘，十二而一。,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期

42、,例　“今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田幾何？”答曰：一百二十步。術(shù)曰：以徑乘周，四而一。注：“宛田”是山頭上的球冠形田地，猶如一只扣著的碗，故名宛田；即球冠的表面積。,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,例　“今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？”答曰：一畝九十七步。術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。,,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,例　“今有環(huán)田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問為田幾何？”答曰：二畝五

43、十五步。術(shù)曰：并中、外周而半之，以徑乘之，為積步。,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,第五章名為“商功”，列題28個，立術(shù)24條。商功意為關(guān)于土方工程問題的思考。本章主要講述以立體問題為中心的各種形體體積計算公式。楔的平截體(城、垣、堤、溝、塹、渠),,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,角錐體（方錐、陽馬）,,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,方臺（方亭）,,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,楔（塹堵）,,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,楔（鱉臑）,,,古典數(shù)