數(shù)學(xué)史與科學(xué)史--10-數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)猜想

1、數(shù)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。然而數(shù)是什么呢？……雖然希臘人曾把點(diǎn)和線等幾何概念作為他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但是所有的數(shù)學(xué)命題最終應(yīng)歸結(jié)為關(guān)于自然數(shù)1，2，3，……的命題，這一點(diǎn)已變成了現(xiàn)代的指導(dǎo)原則。 —— 理查德 · 柯朗,若無某種大膽果敢的猜想，一般來說是不可能有知識(shí)進(jìn)展的。 —— 高斯,xn + yn = zn,第九講 數(shù)與數(shù)學(xué)猜想,一、歷史性背景,二、猜

2、想與證明,三、神秘終結(jié)者,四、無盡的追求,xn + yn = zn,(n > 2)無整數(shù)解,這是真的,一、歷史性背景,1、萬物皆數(shù),2、反證法,3、不定方程,1、萬物皆數(shù),一、歷史性背景,Pythagoras of SamosB. C. 572 – B. C. 497,畢達(dá)哥拉斯定理：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和。x2 + y2 = z2,發(fā)展了關(guān)于數(shù)字的邏輯思想，使數(shù)本身的價(jià)值受到重視。認(rèn)識(shí)到數(shù)獨(dú)立

3、于有形世界而存在，因而關(guān)于數(shù)的研究不會(huì)因感覺的差異而受影響 。,1、萬物皆數(shù),一、歷史性背景,完滿數(shù),6,28,496,8128,33550336,8589869056,萬 物 皆 數(shù),通過探究數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，畢達(dá)哥拉斯發(fā)展著使他和其他人能描述宇宙性質(zhì)的這種語言。,1、萬物皆數(shù),一、歷史性背景,(x + y)2 = 4[xy/2] + z2,x2 + y2 = z2,數(shù)學(xué)證明,的辦法是從一系列公理、陳述出發(fā)，這些陳述有些可以是假定為真

4、的，有些則是顯然真的；然后通過邏輯論證，一步接一步，最后就可能得到某個(gè)結(jié)論。如果公理是正確的，邏輯也無缺陷，那么得到的結(jié)論將是不可否定的。這個(gè)結(jié)論就是一個(gè)定理。,1、萬物皆數(shù),一、歷史性背景,數(shù)學(xué)證明,畢達(dá)哥拉斯對(duì)于數(shù)學(xué)的歷史貢獻(xiàn)在于：發(fā)展了證明的思想。一個(gè)被證明了的數(shù)學(xué)結(jié)果具有比任何別的真理更可靠的真實(shí)性，因?yàn)樗且徊浇右徊降倪壿嫿Y(jié)果。,2、反證法,一、歷史性背景,Euclid of AlexandriaB.C. 330 - B.C

5、.275,《幾何原本》,反證法：,企圖證明某個(gè)定理是真的，但首先假定它是假的；然后探討由于定理不真而產(chǎn)生的邏輯矛盾，而數(shù)學(xué)不能容忍任何矛盾的存在，于是原來的定理不可能是假的。,2、反證法,一、歷史性背景,使用反證法，歐幾里得證明了無理數(shù)的存在性，從而第一次使數(shù)具有了一種嶄新的、更為抽象的性質(zhì)。而在引之前，一切數(shù)都只能表示成自然數(shù)或正分?jǐn)?shù)。歐幾里得向這種傳統(tǒng)的表示法發(fā)起了挑戰(zhàn)。,歐幾里得如此深愛的反證法是數(shù)學(xué)家最精妙的武器之一。它是比任何

6、下棋方法更為精妙的棄子取勝術(shù)：棋手可能犧牲一只卒甚至更大的棋子以換取勝利，而數(shù)學(xué)家則讓出了整個(gè)棋局。 —— 哈代,3、不定方程,一、歷史性背景,上帝恩賜他生命的1/6為童年；再過生命的1/12，他雙頰長(zhǎng)出了胡子；再過1/7后他舉行了婚禮；婚后5年他有了一個(gè)兒子。不幸的孩子只活到父親生命的一半年齡；他以研究數(shù)論寄托自己的誤哀思，4年之后亦撒手人寰。 —— 丟番圖的墓志銘,L = 84,Diophantus of

7、Alexandria B.C150-A.D.364,3、不定方程,一、歷史性背景,是指末知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的代數(shù)方程或代數(shù)方程組。,不定方程:,將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。 —— 第2卷問題8,x2 + y2 =,Z2,繼承并發(fā)展了畢達(dá)哥拉斯的傳統(tǒng)，即關(guān)注數(shù)本身的邏輯與性質(zhì)。,附：數(shù)系的發(fā)展與完善,瓜廖爾石碑（公元876年）,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)上，“0”的意義是多方面的，它既表示位值制記數(shù)中的空位，又表示“沒有”的概

8、念，而且是數(shù)域中的一個(gè)基本元素，可以與其他數(shù)一起運(yùn)算。,附：數(shù)系的發(fā)展與完善,自然數(shù),分?jǐn)?shù),負(fù)數(shù),零,有理數(shù),無理數(shù),,,,虛數(shù),實(shí)數(shù),,復(fù)數(shù)系,附：數(shù)系的發(fā)展與完善,數(shù)學(xué)家在數(shù)的發(fā)展與擴(kuò)張過程中，表現(xiàn)出這種類似于形式主義的態(tài)度，可以說是對(duì)“異端”的一種最寬松的態(tài)度。只要是不產(chǎn)生矛盾，盡可以進(jìn)行推廣。首先把新東西作為理想元素添加進(jìn)來，其次，讓這些新事物也盡可能享有原來事物的性質(zhì)。正是不斷加進(jìn)這種“理想元素”，反過來又使得對(duì)于數(shù)的性質(zhì)的研

9、究也越來越方便。從數(shù)學(xué)上看，該過程還有新的意義：它不僅把數(shù)當(dāng)成個(gè)別的數(shù)來看，即它們有共同的運(yùn)算和共同的性質(zhì)，而且對(duì)整個(gè)數(shù)的集合也將產(chǎn)生出越來越豐富的結(jié)構(gòu)。,二、猜想與證明,1、謎面的誕生,2、解謎的方法,3、產(chǎn)下金蛋,1、謎面的誕生,二、猜想與證明,Pierre de Fermat1601-1665,1、謎面的誕生,二、猜想與證明,Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in

10、duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere;,Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex hanc marginis exiguitas non caparet.,對(duì)于該命題，我確

11、信已發(fā)現(xiàn)一種奇妙的證明，可惜這里的空白太小，寫不下。,不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)四次冪與成兩個(gè)四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣次冪的和。,1、謎面的誕生,二、猜想與證明,1、謎面的誕生,二、猜想與證明,Fermat’s Last Theory,費(fèi)馬大猜想,定理是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因?yàn)橐坏┧鼈兊恼_性被證明，就可以放心地在它們上面建立別的定理。未經(jīng)證實(shí)的想法是很難評(píng)價(jià)的，因此被稱之為猜想。任何

12、依靠猜想而進(jìn)行的邏輯推理，其本身也是一個(gè)猜想。,2、解謎的方法,二、猜想與證明,xn + yn = zn(n = 3, 4)無整數(shù)解,Leonhard Euler, 1707-1783,歐拉的策略：證明某結(jié)論對(duì)于簡(jiǎn)單情形成立，再證明任何使情形復(fù)雜化的操作都將繼續(xù)保持該結(jié)論的正確性。,2、解謎的方法,二、猜想與證明,無窮遞降法：,假設(shè)某結(jié)論對(duì)于某正整數(shù)成立，那么，可以求出或構(gòu)造出更小的正整數(shù)使得該結(jié)論對(duì)于該更小整數(shù)也成立?！?，無限

13、地進(jìn)行下去，就可得到一個(gè)無窮正整數(shù)列，而正整數(shù)是有限數(shù)，故假設(shè)不成立。,無窮遞降法的精神一直到現(xiàn)在都在用，這就是高度理論，或稱高度有限性理論。,(X1, Y1, Z1) > (X2, Y2, Z2) > … >(Xk, Yk, Zk) >…,2、解謎的方法,二、猜想與證明,若xk + yk = zk 無正整數(shù)解，則xmk + ymk = zmk 也無正整數(shù)解。,為證明費(fèi)馬大定理對(duì)n 的一切值成立，我們僅僅需要

14、證明它在n 取素?cái)?shù)值時(shí)成立。,數(shù)學(xué)家們認(rèn)為素?cái)?shù)是最重要的數(shù)，因?yàn)樗鼈兪菙?shù)學(xué)中的“原子”。素?cái)?shù)是數(shù)的建筑材料，因?yàn)樗袆e的數(shù)都可以由若干個(gè)素?cái)?shù)相乘而得。,2、解謎的方法,二、猜想與證明,Sophie Germain，1770-1831,熱爾曼素?cái)?shù)：,使2p + 1 為素?cái)?shù)的那些素?cái)?shù)p .,當(dāng)p和2p+1皆為素?cái)?shù)時(shí)xp + yp = zp大概無整數(shù)解,2、解謎的方法,二、猜想與證明,兩種情形：（在p為奇素?cái)?shù)的情形下）1、xp+ yp=

15、 zp沒有其乘積不能被p整除的解；2、xp+ yp= zp沒有其乘積可以被p整除的解。,Gustav L. Dirichlet1805-1859,A. M. Legendre1752-1833,2、解謎的方法,二、猜想與證明,分圓整數(shù)：,1的n 次復(fù)根的整線性組合。,Gabriel Lamé, 1795-1870,催生了代數(shù)數(shù)論中的n 次分圓數(shù)理論,素因子唯一分解定理不成立。,3、產(chǎn)下金蛋,二、猜想與證明,Ernst K

16、ummer1810-1893,為了重建唯一分解定理，庫默爾在1844-1847年間創(chuàng)立了理想數(shù)理論,當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)方法不可能給出費(fèi)馬定理的完整證明,3、產(chǎn)下金蛋,二、猜想與證明,《算術(shù)研究》(1801),C. F. Gauss1777-1855,數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。,同余理論復(fù)整數(shù)理論型的理論,3、產(chǎn)下金蛋,二、猜想與證明,David Hilbert, 1862-1943,我為什么要?dú)⑺酪恢粫?huì)產(chǎn)金蛋的鵝？

17、,3、產(chǎn)下金蛋,二、猜想與證明,1909年請(qǐng)數(shù)學(xué)家龐加萊來講學(xué)；1910年請(qǐng)物理學(xué)家洛侖茲來講學(xué)：1911年獎(jiǎng)給數(shù)學(xué)理邏輯學(xué)家策梅羅；1912年請(qǐng)物理學(xué)家索沫菲爾德來講學(xué)；1913年組織氣體分子運(yùn)動(dòng)論的會(huì)議；1914年首次用利息來請(qǐng)客座教授。,3、產(chǎn)下金蛋,二、猜想與證明,根據(jù)在達(dá)姆斯塔特世紀(jì)的保羅·沃爾夫斯凱爾（Paul Wolfskehl）博士授予我們的權(quán)力，我們?cè)诖嗽O(shè)立10萬馬克的獎(jiǎng)賞，準(zhǔn)備授予第一個(gè)證明費(fèi)爾大

18、定理的人。 ………… 如果到2007年9月尚未頒發(fā)此獎(jiǎng)，將不再繼續(xù)接受申請(qǐng)。 格丁根皇家科學(xué)協(xié)會(huì) 1908年6月27日,3、產(chǎn)下金蛋,二、猜想與證明,雖然全世界的業(yè)余數(shù)學(xué)家們?cè)谶@個(gè)世紀(jì)中嘗試證明費(fèi)馬大定理和贏得沃爾夫斯凱爾獎(jiǎng)并且都失敗了，但專業(yè)數(shù)學(xué)家們則依然對(duì)

19、其置之不理。數(shù)學(xué)家們不再在庫默爾和其他的19世紀(jì)數(shù)論學(xué)家的工作上添磚加瓦，而是開始探索他們自己學(xué)科的基礎(chǔ)，目的在于提出關(guān)于數(shù)的一些最基本的問題。,3、產(chǎn)下金蛋,二、猜想與證明,如果費(fèi)馬大定理結(jié)果是不可判定的，那么這將隱含它必定是對(duì)的。,費(fèi)馬大定理稱xn+ yn= zn 在n > 2時(shí)無整數(shù)解。如果大定理事實(shí)上錯(cuò)的，那么就有可能通過確定一個(gè)解（一個(gè)反例）來證明這一點(diǎn)。于是，大定理將是可判定的。也就是說，是錯(cuò)的將與不可判定不相容。,三

20、、神秘終結(jié)者,1、終結(jié)者降生,2、朗蘭茲綱領(lǐng),3、終結(jié)之路,1、終終者降生,三、神秘終結(jié)者,Andrew John Wiles, 1953.04.11--,從我孩提時(shí)代第一次遇到費(fèi)馬大定理，它就一直是我最大的興趣所在。,橢圓方程,L-序列,2、朗蘭茲綱領(lǐng),三、神秘終結(jié)者,Robert Langlands1936.10.06 -,朗蘭茲綱領(lǐng)Langlands Programme,朗蘭茲猜想Langlands Conjectures,

21、2、朗蘭茲綱領(lǐng),三、神秘終結(jié)者,朗蘭茲綱領(lǐng)：尋找所有主要數(shù)學(xué)課題之間存在著的統(tǒng)一的連接的環(huán)鏈。,在某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中無法解答的任何問題，可以被轉(zhuǎn)換成另一個(gè)領(lǐng)域中相應(yīng)的問題，而在那里有一整套新武器可以用來對(duì)付它。如果仍然難以找到解答，那么可以把問題再轉(zhuǎn)換到另一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，繼續(xù)下去直到它被解決為止。,2、朗蘭茲綱領(lǐng),三、神秘終結(jié)者,谷山 豐（1927-1958）,志村 五郎,谷山 - 志村 猜想,2、朗蘭茲綱領(lǐng),三、神秘終結(jié)者,模形式m

22、odular forms,無限對(duì)稱性,M –序列,2、朗蘭茲綱領(lǐng),三、神秘終結(jié)者,當(dāng)（且僅當(dāng)）費(fèi)馬大定理不真，則存在弗賴橢圓方程,費(fèi)賴橢圓方程是如此的古怪以致它決不可能被模形式化,谷山 – 志村斷言每一個(gè)橢圓方程必定可以模形式化,因而，谷山 – 志村猜想必定是錯(cuò)的。,2、朗蘭茲綱領(lǐng),三、神秘終結(jié)者,里貝特的工作使得費(fèi)馬大定理不可擺脫地與谷山志村猜想聯(lián)結(jié)在了一起，如果有人能證明每一個(gè)橢圓方程是模形式，那么這就隱含著費(fèi)馬方程無解，于是立即

23、證明了費(fèi)馬大定理。,三個(gè)半世紀(jì)以之后，費(fèi)馬大定理這個(gè)孤立的問題，這個(gè)在數(shù)學(xué)的邊緣上使人好奇的而無法解答地謎?，F(xiàn)在，重新回到臺(tái)前。17世紀(jì)的最重要的問題與20世紀(jì)最有意義的問題結(jié)合在了一起，一個(gè)在歷史上和感情上極為重要的問題與一個(gè)可能引起現(xiàn)代數(shù)學(xué)革命的猜想聯(lián)結(jié)在了一起。,3、終結(jié)之路,三、神秘終結(jié)者,歸 納 法：,利用伽羅瓦的“群”思想，懷爾斯推倒了第一塊多米諾骨牌。,該命題對(duì)第一個(gè)情形是對(duì)的；如果該命題對(duì)任何一個(gè)情形是

24、對(duì)的，那么它一定對(duì)下一個(gè)情形是對(duì)的。,3、終結(jié)之路,三、神秘終結(jié)者,Gerd Faltings, 1954 -,利用算術(shù)代數(shù)幾何方法，法爾廷斯排除了費(fèi)馬方程有無窮多根的可能。因此費(fèi)馬方程如果有根的話，其個(gè)數(shù)也是有限的。,3、終結(jié)之路,三、神秘終結(jié)者,四、無盡的追求,1、未解之謎,2、目標(biāo)何在,3、解決之道,1、未解之謎,四、無盡的追求,費(fèi)馬大定理只是千千萬萬個(gè)丟番圖方程中的一個(gè)，其它許許多多丟番圖問題并未解決，或者并沒有徹底解決，而這些

25、方程仍將成為數(shù)學(xué)繼續(xù)前進(jìn)的動(dòng)力.,費(fèi)馬大定理引出的代數(shù)數(shù)論已經(jīng)成為一門獨(dú)立的前沿學(xué)科，它經(jīng)歷過代數(shù)數(shù)理論、類域論、局部理論、非阿貝爾理論，現(xiàn)在已匯入偉大的朗蘭茲綱領(lǐng)的框架之中，與許多學(xué)科，如代數(shù)K理論，群表示等密切相關(guān)。另外，它的一些原始問題如類數(shù)的計(jì)算仍是令人頭痛的事。,1、未解之謎,四、無盡的追求,代數(shù)數(shù)論與代數(shù)幾何已密不可分，特別是韋依猜想證明之后，這種關(guān)系越發(fā)密切，有一些統(tǒng)一的猜想，如貝林森猜想等正等待大手筆的解決。,代數(shù)曲線論

26、仍有一些遺留問題，特別是橢圓曲線的三大猜想仍然迫在眉睫，但人們已經(jīng)開始向代數(shù)曲線進(jìn)軍了。代數(shù)曲面問題很難，但是這條路肯定要走。,更一般的理論，數(shù)論和代數(shù)幾何的理論和工具庫中還有許多我們沒有提過的理論如動(dòng)形（motive）理論等,2、目標(biāo)何在,四、無盡的追求,有兩個(gè)原因使一代又一代的數(shù)學(xué)家著迷于費(fèi)馬大定理。首先是一種極為強(qiáng)烈的要?jiǎng)偃艘换I的意識(shí)；其次，無論誰能響應(yīng)費(fèi)馬所提出的挑戰(zhàn)，他就會(huì)享受到解謎時(shí)的那種單純的滿足感。,純粹數(shù)學(xué)家就是愛好挑

27、戰(zhàn)。他們喜歡解答未解決的問題。做數(shù)學(xué)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一種極好的感覺?！M(fèi)馬大定理這類問題中最典型的例子。,2、目標(biāo)何在,四、無盡的追求,某類問題對(duì)于一般數(shù)學(xué)進(jìn)展的深遠(yuǎn)意義以及它們?cè)谘芯空邆€(gè)人工作中所起的重要作用是不可否認(rèn)的?！瓟?shù)學(xué)研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊和自由的境界。 ——希爾伯特,2、目標(biāo)何在,四、無

28、盡的追求,我持有至善至美的哲學(xué)觀。數(shù)學(xué)應(yīng)該容納美和美。……大多數(shù)數(shù)學(xué)家是按某種審美觀點(diǎn)來做數(shù)學(xué)的，至善至美哲學(xué)觀來自于我的審美觀。 ——志村 五郎,2、目標(biāo)何在,四、無盡的追求,當(dāng)時(shí)谷山和志村的猜想正席卷全世界。每個(gè)人都感到它很有意思，并開始認(rèn)真地看待關(guān)于所有橢圓方程是否可以模形式化的問題。這是一段非常令人興奮的時(shí)期。當(dāng)然，唯一的問題是它很難取得進(jìn)展。我認(rèn)為，公正地說，雖

29、然這個(gè)想法是漂亮的，但它似乎非常難以真正地證明，而這正是我們數(shù)學(xué)家主要感興趣的一點(diǎn)。 ——安德魯 · 懷爾斯,2、目標(biāo)何在,四、無盡的追求,研究費(fèi)馬可能帶來的問題是，你也許會(huì)虛度歲月而一無所成。只要研究某個(gè)問題時(shí)能在研究過程中產(chǎn)生使人感興趣的數(shù)學(xué)，那么研究它就是值得的——即使你最終也沒有解決它。判斷一個(gè)數(shù)學(xué)問題是否是好的，其標(biāo)準(zhǔn)就是看它能否產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)，而不是問題本身。