證明或判斷等差(等比)數(shù)列的常用方法

1、證明或判斷等差（等比）數(shù)列的常用方法證明或判斷等差（等比）數(shù)列的常用方法湖北省王衛(wèi)華玉芳翻看近幾年的高考題，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，如何處理這些題目呢？且聽筆者一一道來一、利用等差（等比）數(shù)列的定義在數(shù)列中，若（為常數(shù)）或na1nnaad???d（為常數(shù)），則數(shù)列為等差（等比）數(shù)列這是證明數(shù)列1nnaqa??qna為等差（等比）數(shù)更最主要的方法如：na例1（2005北京卷）設(shè)數(shù)列的首項，且，na114aa??

2、11214nnnanaan??????????為偶數(shù)為奇數(shù)記2111234nnban????，，，，…（Ⅰ）求；（Ⅱ）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論23aa，nb解：（Ⅰ）；21321111144228aaaaaa???????，（Ⅱ），所以，43113428aaa?????541132416aaa???所以，1123351111111144424444baabaabaa????????????????????????，，猜想：

3、是公比為的等比數(shù)列nb12證明如下：因為121221111111()424242nnnnnbaaabn??????????????????N，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列nb14a?12評析：此題并不知道數(shù)列的通項，先寫出幾項然后猜測出結(jié)論，再用定義證明，nb這是常規(guī)做法。例2（2005山東卷）已知數(shù)列的首項，前項和為，且na15a?nnS（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）略125()nnSSnn??????N1na?，①1158220

4、8nnnnaSSn???????又②2215(1)8220(1)8nnnnaSSn??????????②①得，，21215(1)58220nnnnnanaaa??????????即③21(53)(52)20nnnana???????又④32(52)(57)20nnnana???????④③得，，∴，321(52)(2)0nnnnaaa???????32120nnnaaa??????∴，又，3221325nnnnaaaaaa???????

5、?????215aa??因此，數(shù)列是首項為1，公差為5的等差數(shù)列??na評析：此題對考生要求較高，通過挖掘的意義導(dǎo)出遞推關(guān)系式，靈活巧妙地構(gòu)造得nS到中項性質(zhì)，這種處理大大簡化了計算例4（高考題改編）正數(shù)數(shù)列和滿足：對任意自然數(shù)成等nanb1nnnnaba?，，，差數(shù)列，成等比數(shù)列證明：數(shù)列為等差數(shù)列11nnnbab??，，nb證明：依題意，，且，1002nnnnnabbaa?????，，11nnnabb???1(2)nnnabbn??

6、?≥112nnnnnbbbbb?????由此可得即112nnnbbb????11(2)nnnnbbbbn?????≥數(shù)列為等差數(shù)列?nb評析：本題依據(jù)條件得到與的遞推關(guān)系，通過消元代換構(gòu)造了關(guān)于的等差nanbnb數(shù)列，使問題得以解決三運算數(shù)學(xué)歸納法這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“時nk?命題成立”到“時命題成立”要會過渡1nk??例5(2004全國高考題)數(shù)列的前項和記為，已知，??nannS11a?證明：