如何求圓錐曲線的離心率123

1、1如何研究圓錐曲線離心率的問題如何研究圓錐曲線離心率的問題南京市第一中學(xué)（南京市第一中學(xué)（210001210001）孔凡海孔凡海在新課程中，圓錐曲線的離心率問題是高考中?？嫉膯栴}，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍。由于它涉及圓錐曲線較多的基本量，方程與曲線問題，方程組與不等式的求解問題，等等，所以相對比較復(fù)雜，學(xué)生常常感到難以下手，不好把握。下面就通過近年的一些高考題和模擬題的分析、研究和求

2、解，總結(jié)出一般的解題策略和方法。1求圓錐曲線離心率的值例1（2008江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以O(shè)為圓心，12222??byax)0(??bac2為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率=a????????02caePBAOyx分析分析：如圖，，與圓O相切，由于切線，互相垂直，所以四邊形OAPB為正方形，PAPBPAPB，這樣就得到一個關(guān)于基本量，的齊次方程，從而求解出比值的值。OAOP2?ac)(eac?解：由已知

3、條件，四邊形OAPB為正方形，所以，所以，解出OAOP2?aca22?，即22?ac22?e例2（2010南通二模）A，B是雙曲線C的兩個頂點，直線l與雙曲線C交于不同的兩點P，Q，且與實軸垂直，若，則雙曲線C的離心率=。0??AQPBe分析分析：直線l的任意性，取特殊情況，例如，這樣可以得到結(jié)果。當(dāng)然我們應(yīng)用多項式恒等于0，cx?可以得到對應(yīng)的系數(shù)為0，從而得到一個關(guān)于基本量的方程，再解出比值的值。)(eac?解：不妨設(shè)雙曲線C的方程

4、，則，，12222??byax)00(??ba)0(aA?)0(aB根據(jù)已知條件，設(shè)，，所以，，)(yxP)(yxQ?)(yxaPB???)(yaxAQ???3而，，ccaFA??2所以，解出，ccaexa???2)(12cacaex???由于，所以，又，所以，axa???acacaea?????)(12ace?0122???ee即，又，所以0)1)(12(???ee10??e121??e例4（2009重慶理）已知雙曲線22221(00

5、)xyabab????的左、右焦點分別為12(0)(0)FcFc?，若雙曲線上存在一點P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是caFPFFPF???1221sinsin分析：分析：由正弦定理，所以，又根據(jù)雙曲線的定義，，eacPFPF??2121PFePF?aPFPF221??所以易得到，。因為，所以P點在121??eaePF122??eaPF1?e雙曲線的右半支上，如果我們考慮幾何的大小，易知，得到一個關(guān)于基本量，，，caPF??1abc

6、的不等式，從而求出離心率的范圍；如果我們考慮，通過設(shè)雙曲線上的點，注意到雙曲線本ee)(yxP身的范圍，也可以求出離心率的范圍。e解法解法1：在中，由正弦定理得，，所以，又根據(jù)雙曲線的定義，21FPF?eacPFPF??2121PFePF?，所以易得到，，aPFPF221??121??eaePF122??eaPF由已知，，所以點P在雙曲線的右支上，所以，21PFPF?acPF??1所以，，因為，所以，所以。aceae???121?e01