ch1第5節(jié) 條件概率

1、一、條件概率,二、乘法定理,三、全概率公式與貝葉斯公式,四、小結(jié),第五節(jié)　條件概率,,將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.,分析,事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為,1. 引例,一、條件概率,,,,同理可得,為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率.,2. 定義,3. 性質(zhì),,,二

2、、 乘法定理,例1 在標(biāo)有1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字的卡片里,無放回地抽取兩次,一次一張,求 (1)第一次取到奇數(shù)卡片的概率; (2)已知第一次取到偶數(shù),求第二次取到奇數(shù)卡片的概率; (3)第二次才取到奇數(shù)卡片的概率.,例2 某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物, 問它能活到25歲以上的概率是多少?,設(shè) A 表示“ 能活

3、 20 歲以上 ” 的事件，B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,,則有,解,例4 五個(gè)鬮, 其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字， 三個(gè)鬮內(nèi)不寫字 ，五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?,解,則有,抓鬮是否與次序有關(guān)?,依此類推,故抓鬮與次序無關(guān).,例5 一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球. 隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn) c 個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進(jìn)行四次 ，試求第一、二次取

4、到白球且第三、四次取到紅球的概率.,波里亞罐子模型,于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球. ”,,隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.,解 設(shè) Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4,Rj={第j次取出是紅球}， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,,,,,當(dāng) c > 0 時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.

5、 這是一個(gè)傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),例6 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”.,所

6、以,練習(xí) 某人外出旅游兩天, 需知道兩天的天氣情況, 據(jù)預(yù)報(bào), 第一天下雨的概率為 0.6,第二天下雨的概率為0.3, 兩天都下雨的概率為0.1. 求 第一天下雨時(shí), 第二天不下雨的概率.,解: 設(shè)A1與A2 分別表示第一與第二天下雨,條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系,上例中,若,,一般地,人們?cè)谟?jì)算某一較復(fù)雜的事件的概率時(shí)，有時(shí)根據(jù)事件在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生而將它分解成兩個(gè)或若干互不相容的部分的并，分別計(jì)算

7、概率，然后求和.全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式，它使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題化繁就簡(jiǎn)，得以解決.,三、全概率公式與貝葉斯公式,1. 樣本空間的劃分,,,,,,三、全概率公式與貝葉斯公式,,2. 全概率公式,全概率公式,圖示,,,,,,,證明,化整為零各個(gè)擊破,,說明 全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.,例7 有一批同一型號(hào)

8、的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占 50% ，三廠生產(chǎn)的占 20%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% ， 1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?,設(shè)事件 A 為“任取一件為次品”,,解,由全概率公式得,,,30%,,20%,50%,,2%,1%,1%,例 (敏感性問題的調(diào)查) 學(xué)生考試作弊會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)風(fēng)和大學(xué)生身心健康發(fā)展，但這些都是避著教師進(jìn)行的，屬于不光彩行為，要調(diào)查考試作弊同學(xué)在全體學(xué)生中所占

9、比率P是一件難事，這里關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，使被調(diào)查者愿意作出真實(shí)回答又能保守個(gè)人秘密，經(jīng)過多年研究與實(shí)踐，一些心理學(xué)家與統(tǒng)計(jì)學(xué)家設(shè)計(jì)了一種調(diào)查方案，這個(gè)方案的核心是如下兩個(gè)問題。問題1：你的生日是否在7月1日之前？問題2：你是否在考試時(shí)作過弊？被調(diào)查者只需回答其中一個(gè)問題至于回答哪一個(gè)問題由被調(diào)查者事先從一個(gè)罐中隨機(jī)抽取一只球，看過顏色后再放回，若抽出白球則回答問題1；若抽出紅球則回答問題2，罐中只有白球與紅球，且紅球的比率

10、 是已知的，即,P(紅球)=π ， P(白球)=1-π,被調(diào)查者無論回答問題1還是問題2，只需在下面答卷上認(rèn)可的方框內(nèi)打勾，然后將答卷放入一只密封的投票箱內(nèi).,,,是 否,上述抽球與答卷都是在一間無人的房間內(nèi)進(jìn)行的，任何外人都不知道調(diào)查者抽到什么顏色的球和在什么地方打勾，,如果向被調(diào)查者講清楚這個(gè)方案的做法，并嚴(yán)格執(zhí)行，那么就容易被調(diào)查者確信他（她）參加這次調(diào)查不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而愿意參加調(diào)查. 當(dāng)有較多的人參加調(diào)查

11、后，就可以打開投票箱進(jìn)行統(tǒng)計(jì).設(shè)有 張答卷，其中 張答“是”，于是回答“是”的比率是 ，可用頻率 去估計(jì)，記為,(是)= ，,這里答“是”有兩種情況：一種是摸到白球后回答問題1答“是”，這是一個(gè)條件概率，它是“生日是否在7月1日之前”的概率，一般認(rèn)為是0.5，即,(是 )=0.5,另一種是摸到紅球后回答問題2答“是”，這也是一個(gè)條件概率，它不是別的，就是考試作弊同學(xué)在全體學(xué)生中所占比率 ，即

12、(是 )= 最后利用全概率公式把上述各項(xiàng)概率（或其估計(jì)值）聯(lián)系起來(是)= (是白球) (白球)+ (是紅球) (紅球)由此可獲得感興趣的比率,=,稱此為貝葉斯公式.,,,3. 貝葉斯公式,證明,例8,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由貝葉斯公式得,解,例9,由貝葉斯公式得所求概率為,上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗(yàn)概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后驗(yàn)概率.

13、,先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率,解,例10,由貝葉斯公式得所求概率為,即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.,伊索寓言“孩子與狼”講的是一個(gè)小孩每天到山上放 羊，山里有狼出沒。第一天，他在山上喊“狼來了，狼來了”，山下的村名聞聲便去打狼，可到山上，發(fā)現(xiàn)狼沒來；第二天仍是如此；第三天，狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因?yàn)榍皟纱嗡f了謊，人們不再相信他。,例 （狼來了?。?首先記事件A為“小孩說謊”，記事件

14、B為“小孩可信”。不妨假設(shè)村民過去對(duì)這個(gè)小孩的印象為第一次村民山上打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒來，即小孩說了謊(A)，村民根據(jù)這個(gè)信息，對(duì)這個(gè)小孩的可信程度改變?yōu)檫@表明村民上了一次當(dāng)之后，對(duì)這個(gè)小孩的可信程度由原來的0.8調(diào)整為0.444，在此基礎(chǔ)上調(diào)整,,,,,,,,根據(jù)調(diào)整后的信息，我們?cè)僖淮芜\(yùn)用貝葉斯公式來計(jì)算 亦即這個(gè)小孩第二次說謊后，村民對(duì)他的可信程度改變?yōu)檫@表明村民們經(jīng)過兩次上當(dāng)，對(duì)這個(gè)小孩的可信程度已經(jīng)從0.8