《概率論》第1章§4、5條件概率與全概率

1、例1 設(shè)袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)兩個人依次從袋中各取一球(不放回)，（1）第一個人取到紅球的概率？（2）若已知第一個人取到的是紅球，求第二個人取到紅球的概率又是多少？（3）若已知第一個人取到的是白球，求第二個人取到紅球的概率是多少？（4）求兩人均取到紅球的概率？,解：從上面的第二問、第三問和都是求第二個人取到紅球，但是它們的結(jié)果是不同，這是因為它們是在不同的發(fā)生條件下對應(yīng)的不同結(jié)果，即是受條件影響的概率，我們稱之為條件概

2、率.已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為：A條件下B的條件概率，記作P(B|A).記A＝{第一個人取到紅球}，B＝{第二個人取到紅球}.,,,,將一枚硬幣連拋兩次，則樣本空間是,如果我們已經(jīng)知道試驗結(jié)果中“至少出現(xiàn)了一次正面”,問此時,例,？,分析,記 至少出現(xiàn)一次正面,從而,由于 已發(fā)生,故“樣本空間”變?yōu)?,試驗的所有可能結(jié)果,question,,定義,設(shè) 是兩個事件，且

3、 記,若 則稱,從另一角度看條件概率,分析,已發(fā)生，所以樣本空間變?yōu)?從而條件概率,可視為縮小的“樣本空間” 上的概率.,條件概率 的基本性質(zhì)：,非負(fù)性,對于任一事件 有,規(guī)范性,對于必然事件 有,可列可加性,設(shè)是 兩兩不相容事件列，則有,,③,從而概率所具有的性質(zhì)和滿足的關(guān)系式對條件概率仍適用：,P（? |A）＝0；,,,例

4、2一盒中混有100只新、舊乒乓球，各有紅、白兩色，分類如下表.從盒中隨機(jī)取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率.信息見下表：,解：記 A＝{從盒中隨機(jī)取到一只紅球}. B＝{從盒中隨機(jī)取到一只新球}. 則有：,,,,例3 人壽保險公司常常需要知道存活到某一個年齡段的人在下一年仍然存活的概率。根據(jù)統(tǒng)計資料可知，某城市的人由出生活到50歲的概率為0.90718，存活到51歲的概率為0.9

5、0135。問現(xiàn)在已經(jīng)50歲的人，能夠活到51歲的概率是多少？,解,記 A=,因此,要求,顯然,因為,從而,匚,可知該城市的人在50歲到51歲之間死亡的概率約為0.00643。在平均意義下，該年齡段中每千個人中間約有6.43人死亡。,求條件概率的兩種方法：1、在原來的樣本空間中，直接由定義計算;2、在縮減后 的樣本空間中計算；,由條件概率,對稱地有,二、乘法公式,定理1 （乘法公式）,則由歸納法可得：,則由,可得,例4 盒

6、中有3個紅球和2個白球。每次從袋中任取一個，觀察顏色后放回，并且再放入一個與所取球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次，試求第1、2次取得白球，第3、4次取得紅球的概率。,解,記,要求,因為,因此,例5 一袋中有a個白球和b個紅球?，F(xiàn)依次不放回地從袋中取兩球。試求兩次均取到白球的概率 。,解,記,要求,顯然,因此,第一個袋中有黑、白球各 2 只, 第二個袋中有黑、白球各 3 只. 先從第一個袋中任取一球放入第二個袋中,再從第二個袋

7、中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率.,由乘法公式求得,,練習(xí)：,記,第 次取到白球,則,,條件概率是定義的，但條件概率的值通常是根據(jù)實際問題中的具體意義確定的,在概率論發(fā)展初期，古典概型中的加法公式,及乘法公式,是概率論的兩條基本定理，是概率論深入發(fā)展的起點,①,③,②,條件概率乘法公式的說明,,,某球隊要經(jīng)過三輪比賽才能出線. 該球隊第一輪比賽被淘汰的概率為0.5,第二輪比賽被淘汰的概率為0.7,第三輪比賽被淘汰的概率為0.

8、9 . 求球隊出線的概率.,例,球隊出線,則,是不是所求概率？,練習(xí)1-4： 1、2、3、4、5,第五節(jié) 全概率公式,下面用概率的有限可加性及條件概率的定義和乘法定理建立兩個計算概率的公式。先引入一個例子,例1 市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2％、1％、3％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率.,解 記：,,,,,又因為,,,

9、,且,是兩兩互不相容的，因此：,,,,定義,于是,設(shè) 為樣本空間 的一個劃分，即,對任何事件 有,全概率公式,,全概率公式,則,課堂練習(xí)：習(xí)題1-5： 1、3,例2 市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2％、1％、3％，若購買到一件次品，試求該件次品來自于甲車間的概率.,解 根據(jù)

10、例1的分析，現(xiàn)在所求的是一個條件概率，是在B事件發(fā)生條件下，A1事件發(fā)生的概率，即求事件 的概率.,,,,,,根據(jù)條件概率公式有：,,,,,這個問題是例1的一個相反問題，它是由“結(jié)果”來推斷“原因”.也就是說，已經(jīng)觀察到一個事件已經(jīng)發(fā)生，再來研究事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性的大小.通常稱這一類問題為逆概率問題.,,設(shè) 為樣本空間 的一個分劃，且,則

11、由乘法公式有,由全概率公式有,Bayes公式,貝葉斯（Bayes）公式,貝葉斯（Bayes）公式,與全概率公式剛好相反，貝葉斯公式主要用于當(dāng)觀察到一個事件已經(jīng)發(fā)生時，去求導(dǎo)致所觀察到的事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性大小 。,例3 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)地為0.8，0.1和0.1。一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：

12、（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率 a ；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率 b。,解,（1）由全概率公式,（2）由貝葉斯公式,記,全概率公式還可以從另外一個角度去理解，,P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn) 加權(quán)平均值,全概公式,,貝葉斯公式的解釋：P(B1)，P(B2)…，它是在沒有進(jìn)一步的信息（不知A

13、是否發(fā)生）的情況下，人們對B1，B2…，發(fā)生可能性大小的認(rèn)識，現(xiàn)在有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對B1，B2…發(fā)生可能性大小有了新的估價。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。,貝葉斯公式作用在于“由結(jié)果推原因”，現(xiàn)在有一個“結(jié)果”A發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中，到底是哪一個導(dǎo)致了這個結(jié)果？這是一個在日常生活和科學(xué)技術(shù)中常要問的問題。,Bayes 方法廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)、分類、診斷、估計、檢驗、判別、推理等方面,若試驗產(chǎn)生事件 ,