概率論 5

1、§2 頻率與概率,設(shè)在 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了m 次，,則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率,頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小. 盡管每進(jìn)行一連串（n次）試驗(yàn)，所得到的頻率可以各不相同，但只要 n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接近的.,頻率的性質(zhì),,,事件 A, B互斥，則,可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件,,非負(fù)性,,歸一性,,可加性,穩(wěn)定性,,,,某一定數(shù),,投一枚硬幣觀察正面向上的

2、次數(shù),n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,頻率穩(wěn)定性的實(shí)例,蒲豐( Buffon )投幣,,皮爾森( Pearson ) 投幣,頻 率 的 應(yīng) 用,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)有,事件發(fā)生的概 率,,事件發(fā)生的

3、頻 率,概率是頻率穩(wěn)定性的依據(jù)，是隨機(jī)事件規(guī)律的一個(gè)體現(xiàn) .,實(shí)際中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常通過(guò)作大量試驗(yàn)，用事件出現(xiàn)的頻率去近似概率.,它的理論依據(jù)我們將在第四章介紹.,設(shè) 隨機(jī)試驗(yàn)E 具有下列特點(diǎn)：,基本事件的個(gè)數(shù)有限 每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生,則稱 E 為 古典(等可能)概型,古典概型中概率的計(jì)算：,記,則,概率的古典定義,排列、組合問(wèn)題,例1 袋中有a 只白球，b 只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m個(gè)球（

4、 ),求其中恰有 k 個(gè) （ ）白球的概率,解 （1）不放回情形,E1: 球編號(hào), 一次取 m 個(gè)球,記下顏色,?1:,記事件 A 為m個(gè)球中有k個(gè)白球，則,因此,稱超幾何分布,（2）放回情形,E2: 球編號(hào), 任取一球, 記下顏色, 放回去, 重復(fù) m 次,?2:,記 B 為取出的 m 個(gè)球中有 k 個(gè)白球, 則,稱二項(xiàng)分布,古典概率的主要性質(zhì)：,設(shè)有 k 個(gè)不同的球

5、, 每個(gè)球等可能地落入 N 個(gè)盒子中（ ）, 設(shè)每個(gè)盒子容球數(shù)無(wú)限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 個(gè)盒子中各有一球；,（4）恰有 k 個(gè)盒子中各有一球；,（3）某指定的一個(gè)盒子沒(méi)有球；,（2）某指定的一個(gè)盒子恰有 m 個(gè)球( ),（5）至少有兩個(gè)球在同一盒子中；,（6）每個(gè)盒子至多有一個(gè)球.,例2 （分球模型）,解,設(shè) (1) ~ (6)的各事件分別為,則,,,,,,,例2的“分球模

6、型”可應(yīng)用于很多類似場(chǎng)合,“球”可,視為,,人,“盒子”,相應(yīng),視為,,房子,信封,信,鑰匙,門鎖,生日,人,例2 “分房模型”的應(yīng)用,材料系三年級(jí)有 n 個(gè)人，求至少有兩,人生日相同（設(shè)為事件A ) 的概率.,解,為 n 個(gè)人的生日均不相同,這相當(dāng)于,本問(wèn)題中的人可被視為“球”，365天為,365只“盒子”,若 n = 64，,每個(gè)盒子至多有一個(gè)球. 由例2（6）,若P(A) 0.01 , 則稱A為小概率事件.,小概率事件,一

7、次試驗(yàn)中小概率事件一般是不,會(huì)發(fā)生的. 若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了,,則可懷疑該事件并非小概率事件.,小概率原理,——,——,( 即實(shí)際推斷原理 ),例3 區(qū)長(zhǎng)辦公室某一周內(nèi)曾接待過(guò)9次來(lái),訪, 這些來(lái)訪都是周三或周日進(jìn)行的,是否,可以斷定接待時(shí)間是有規(guī)定的？,解 假定辦公室每天都接待，則,P( 9次來(lái)訪都在周三、日) = = 0.0000127,這是小概率事件,一般在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā),生. 現(xiàn)在居然發(fā)生了, 故可認(rèn)為假

8、定不成立,,從而推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.,例 某人的表停了，他打開(kāi)收音機(jī)聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問(wèn)他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率,,9點(diǎn),10點(diǎn),,10分鐘,幾何概型考慮的是有無(wú)窮多個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。,定義：設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 ?, 若樣本點(diǎn)落入 ? 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的概率與區(qū)域G的測(cè)度成正比, 則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率為,一般，設(shè)某個(gè)區(qū)域 D (線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測(cè) 度 mD(長(zhǎng)度，面積，體積)。如

9、果隨機(jī)實(shí)驗(yàn) E 相當(dāng)于向區(qū)域內(nèi)任意地取點(diǎn)，且取到每一點(diǎn)都是等可能的，則稱此類試驗(yàn)為幾何概型。,例 兩船欲停同一碼頭, 兩船在一晝夜內(nèi)獨(dú)立隨機(jī)地到達(dá)碼頭. 若兩船到達(dá)后需在碼頭停留的時(shí)間分別是 1 小時(shí)與 2 小 時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.,解 設(shè)船1 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 x , 0 ? x < 24 船2 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 y , 0 ? y < 24,設(shè)事件

10、 A 表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待 空出碼頭,,,設(shè) ? 是隨機(jī)試驗(yàn)E 的樣本空間，若能找到一個(gè)法則，使得對(duì)于E 的每一事件 A 賦于一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P ( A ), 稱之為事件 A 的概率，這種賦值滿足下面的三條公理：,非負(fù)性：,歸一性：,可列可加性：,其中 為兩兩互斥事件.,概率的性質(zhì),,,若,,對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有,B,B=AB+(B – A),P(B)=P(AB)+

11、 P(B – AB),P(B–A)=P(B–AB),加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有,推廣：,一般：,右端共有 項(xiàng).,例1 小王參加“智力大沖浪”游戲, 他能答出甲、乙二類問(wèn)題的概率分別為0.7和0.2, 兩類問(wèn)題都能答出的概率為0.1. 求小王,解 事件A , B分別表示“能答出甲,乙類問(wèn)題”,(1),(1) 答出甲類而答不出乙類問(wèn)題的概率 (2) 至少

12、有一類問(wèn)題能答出的概率 (3) 兩類問(wèn)題都答不出的概率,(2),(3),例1 中小王他能答出第一類問(wèn)題的概率為0.7, 答出第二類問(wèn)題的概率為0.2, 兩類問(wèn)題都能答出的概率為0.1. 為什么不是 ？,若是的話, 則應(yīng)有,而現(xiàn)在題中并未給出這一條件.,在§3中將告訴我們上述等式成立的,條件是 ：事件 相互獨(dú)立.,例2 設(shè)A , B滿足 P ( A

13、 ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何條件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？,解,最小值在 時(shí)取得,—— 最小值,—— 最大值,最大值在 時(shí)取得,排列組合有關(guān)知識(shí)復(fù)習(xí),加法原理：完成一件事情有n 類方法，第 i 類方法中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情共有

14、,種不同的方法,乘法原理：完成一件事情有n 個(gè)步驟，第 i 個(gè)步驟中有 mi 種具體的方法，則完成這件事情共有,種不同的方法,排列 從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè) (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,可重復(fù)排列 從 n 個(gè)不同的元素中可重復(fù)地 取出 m 個(gè)排成一排, 不同的排法有,種,，不同的分法共有,多組組合 把 n 個(gè)元素分成

15、 m 個(gè)不同的組（組編號(hào)）， 各組分別有 個(gè)元素，,種,組合 從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè)(不放 回地）組成一組， 不同的分法共有,將15 名同學(xué)(含3 名女同學(xué)), 平均分成三組. 求(1) 每組有1 名女同學(xué)(設(shè)為事件A)的概率；(2) 3 名女同學(xué)同組(設(shè)為事件B)的概率,解,（1）,（2）,例,,例 把標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個(gè)球隨機(jī)