3.4~3.5_向量組的極大無(wú)關(guān)組與向量空間

1、主要內(nèi)容:,一．等價(jià)向量組,二．向量組的極大線性無(wú)關(guān)組,三．向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,第3.4節(jié) 向量組的極大 線性無(wú)關(guān)組,一、等價(jià)向量組,若同時(shí)向量組B 也可以由向量組A線性表示，就稱向量組A與向量組B等價(jià)。,即,等價(jià)向量組的基本性質(zhì):,(2),則向量組 必線性相關(guān)。,推論2：兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含相同個(gè)數(shù)的向量。,二、向量組的極大線性無(wú)關(guān)

2、組,定義2:,注:,（1） 只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組(零向量線性相關(guān))。,簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。,那么稱部分組 為向量組 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。,（2）一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身。,（3）一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性 表示。,（2）向量組A中每一個(gè)向量均可有 線性表示。,例如：在向量組

3、 中，,注：一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。,極大無(wú)關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)：,任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。,又，向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，而每一個(gè)極大無(wú)關(guān)組都與向量組等價(jià)，所以：,向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。,由等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組必包含相同個(gè)數(shù)的向量，可得,定理：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等

4、價(jià)，且所含向量的個(gè)數(shù)相同。,三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,定義3：向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩, 記作,例如： 向量組 的,秩為2。,1. 向量組的秩,（4）等價(jià)的向量組必有相同的秩。,關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：,（1）零向量組的秩為0。,注： 兩個(gè)有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。

5、兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè) 線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。,2. 矩陣的秩,把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成。,定義4：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩;矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。,例如：矩陣,的行向量組是,因?yàn)?，?即,可知,線性相關(guān)。,所以矩陣A的行秩為3。,矩陣A的列向量組是,而,所以矩陣A的列秩是3。

6、,問(wèn)題：矩陣的行秩 ＝ 矩陣的列秩,引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。 （列） （列）,（1）對(duì)換矩陣A的兩行,A的行向量組所含向量未變，所以向量組的秩不變，所以矩陣A的行秩不變。,（2）用非零常數(shù)k乘以A的第i行,即A的行秩不變。,（3）非零常數(shù)k乘以第i行后加到第j行上,所以兩個(gè)向量組等價(jià)，所以行向量組的秩不變，所以

7、矩陣的行秩不變。,引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。 （列） （行）,則,下面證明A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組,經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)?是矩陣B的列,因?yàn)镻為初等矩陣的乘積，所以P可逆。,線性無(wú)關(guān)。,向量組的極大無(wú)關(guān)組。,（2）再證B的列向量組中任一向量,可由向量組,線性表示。,是A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組,使得,所以，B的列秩＝r

8、＝A的列秩,綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。,定理：矩陣的行秩＝矩陣的列秩,證：任何矩陣A都可經(jīng)過(guò)初等變換變?yōu)?形式，,而它的行秩為r，列秩也為r。,又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，,所以，A的行秩＝r＝A的列秩,定義5：矩陣的行秩＝矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。,記為r(A),或rankA，或秩A。,推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。,結(jié)論：行階梯形矩陣的秩＝非零行的行數(shù),從而，矩陣A的秩＝矩陣A的行向量組的秩＝非零行

9、的行數(shù).,求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩。,解：看行秩,例2：求上三角矩陣的秩,線性無(wú)關(guān)，,所以矩陣的秩＝行向量組的秩＝3＝非零行的行數(shù),求向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組的步驟:,r(A)=B的非零行的行數(shù),（3）求出B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組,（4）A中與B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)部分的列向量組 即為A的極大無(wú)關(guān)組。,引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的

10、列秩。 （列） （行）,解：,又因?yàn)锽的1，2，5列是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,考慮：是否還有其他的極大無(wú)關(guān)組？,與,解：設(shè),則B的1，2列為極大無(wú)關(guān)組，且,2.3 矩陣秩的性質(zhì),(1) 等價(jià)的矩陣，秩相同。,(3) 任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變。,(4),當(dāng)AB=0時(shí)，有,3.矩陣的秩與行列式的關(guān)系,定理:,n階方陣A

11、，,即A為可逆矩陣（也稱為滿秩矩陣）,A的n個(gè)行（列）向量線性無(wú)關(guān),A的n個(gè)行（列）向量線性相關(guān),主要內(nèi)容:,一．向量空間的概念,二．向量空間的基與維數(shù),三．向量在基下的坐標(biāo),四．思考練習(xí)題,第3.5節(jié) 向量空間,一、 向量空間的概念,說(shuō)明:,n維向量的全體 ，也是一個(gè)向量空間。,定義1： 設(shè) V 為n 維向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，

12、 那么就稱集合V 為向量空間．,集合 V 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉指,例1： 3維向量的全體 是一個(gè)向量空間。,例2: 判別下列集合是否為向量空間.,解：,所以， 是向量空間。,(2) 不是向量空間。,是否為向量空間.,（這個(gè)向量空間成為由向量a，b生成的向量空間）,一般地，由向量組 所生成的向量空間為,例3：設(shè) a，b為兩個(gè)已知的n維向量，判斷

13、集合,解：,所以V 是一個(gè)向量空間。,二、 向量空間的基與維數(shù),,且滿足:,注（1）只含有零向量的向量空間沒(méi)有基，規(guī)定其維數(shù)為0。,（2）如果把向量空間看作向量組，可知，V的基就是向 量組的極大無(wú)關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。,（3）向量空間的基不唯一。,定義2：設(shè)V是向量空間，如果r個(gè)向量,例4,解：,,定義3：設(shè)向量空間V的基為 ，對(duì)于