§3向量組的秩

1、知識點5---向量組的最大無關組,,,,向量組秩的定義及求法,2.,,,,最大線性無關組的定義,1.,線性相關與線性無關,定義,則稱向量組 A 是線性相關的，否則,稱它線性無關．,給定向量組 A：,如果存在不全為零的數(shù),使,對于任一向量組，不是線性無關就是線性相關.,如果有,一、最大線性無關組,驗證,解：,向量組的最大無關組不是唯一的.,,都是最大無關組嗎？,解：,,是線性無關的,是線性相關的，,每組向量加一個向量后就線性相關，,它們都

2、是最大無關組.,所以不是最大無關組.,在向量組,中，,1. 若向量組A本身線性無關，則A 就是其一個最 大無關組；,2.全由零向量組成的向量組，沒有最大無關組；,注,,3.向量組的任一向量能由它的最大無關組線性表示.,定義：向量組的最大無關組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩,二、向量組的秩及求法,則該向量組的秩為r.,,定理1：向量組與其任何一個最大無關組是等價的;,證明 :設向量組A的秩為r, A的一個最大無關組為,(1) A1中的向

3、量都是A中的向量,所以A1可由A 線性表示；,(2) 任意 ,當 時, 可由線性A1表示；,當 時, 線性相關, 而,線性無關, 可由A1線性表示.,故A可由A1線性表示．因此 A與A1等價．,定理1：向量組與其任何一個最大無關組是等價的;,推論1：向量組的任意兩個最大無關組間是等價的;,推論2：向量組的任意兩個最大無關組含有向量的個數(shù)相同;,例1 已知,,,求,的

4、最大無關組及向量組的秩.,解,,,,,,,,,,,是最大無關組.,,,,,,,向量組 的秩,即為矩陣 的秩,性質1:,是最大無關組.,等于最大無關組的向量的個數(shù)。,向量組的秩是3.,,,,,,,組中任意s+1個向量（如果有）必線性相關,是一個最大無關組.,是線性相關.,一般取階梯頭所在的列作為一個最大無關組.,求最大無關組的步驟：,將A只用初等行變換化為階梯形矩陣B.,是它的一個最

5、大無關組.,一般取階梯頭所在的列作為一個最大無關組.,2.求出B的秩，如,,解,例2 已知向量組A：,,,,求A的一個最大無關組及向量組的秩.,,,是一個最大無關組.,,ｎ個ｍ維列向量.,三、向量組的秩和對應矩陣秩的關系,第ｊ個列向量記作,ｍ個ｎ維行向量.,按行分塊,按列分塊,第ｉ個行向量記作,,,,這兩個向量組都來源于同一個矩陣A;不同的是來自于兩種不同的分塊方法.,,,,,,,定義:矩陣A按行分塊得到行向量組的秩稱為A的行秩，

6、 按列分塊得到列向量組的秩稱為A的列秩。,證明:設,則A的行秩=A的列秩=向量組的秩.,定理2:設,A的列秩,有性質知，,則A的行秩=A的列秩=向量組的秩.,AT的列秩,A的行秩=,,An是可逆矩陣,A的行向量組是線性無關,A的列（行）向量組中有r 個列（行）向量線性無關，,且任意r+1個（如果有）列（行）向量均線性相關.,推論:,A的列向量組是線性無關,例3 設A是5*3的矩陣，且R(A)=3，下述4個命題中,（A）A的3個列向量

7、必線性無關。（B）A的5個行向量必線性相關。（C）A的任意3個行向量必線性無關。（D）A的行向量中有3個行向量是線性無關的。,不正確的是（ ）,解： 由 R(A)=3 知，,而A的列向量只有3個，,所以，A的3個列向量必然線性無關，,所以，A的列秩=3，,故（A）正確。,例3 設A是5*3的矩陣，且R(A)=3，下述4個命題中,（A）A的3個列向量必線性無關。（B）A的5個行向量必線性相關。（C）A的任意3個行向量必線性無

8、關。（D）A的行向量中有3個行向量是線性無關的。,不正確的是（ ）,解： 由 R(A)=3 知，,而A的行向量有5個，,A的5個行向量必然線性相關，,所以，A的行秩=3，,故（B）正確。,,例3 設A是5*3的矩陣，且R(A)=3，下述4個命題中,（A）A的3個列向量必線性無關。（B）A的5個行向量必線性相關。（C）A的任意3個行向量必線性無關。（D）A的行向量中有3個行向量是線性無關的。,不正確的是（ ）,解： 由 R