動力學普遍定理綜合應用

1、動力學習題課,牛頓力學普遍定理的聯合運用,解題思路上的幾個關節(jié)點,(1) 求運動量, 特別是速度問題,優(yōu)先考慮用動能定理. (整體分析)(2) 求約束反力, 必須用動量定理或質心運動定理.也涉及到動量矩定理(轉動, 曲線運動)(3) 初瞬時問題,鮮用動能定理.(4) 注意約束的位置和性質及是否系統(tǒng)的動量或動量矩守恒(某一方向).(5) 根據題意尋找運動學方程或約束方程往往是解動力學問題的關鍵.,,,由動能定理: T2 －T1

2、= ∑WA,綜 – 1 滑塊M 的質量為 m , 可在固定于鉛垂面內, 半徑為R 的光滑圓環(huán)上滑動, 如圖示. 滑塊 M 上系有一剛度系數為k 的彈性繩 MOA, 此繩穿過固定環(huán)O 并 固結在A 點處. 已知滑塊在點O 時繩子的張力為零. 開始時滑塊在B 點靜止, 當 它受到微小擾動時即沿圓環(huán)滑下. 求 : 下滑的速度v 與角? 的關系及圓環(huán)對滑 塊M 的支反力.,,再取滑塊M分析:,,,,,式 中 θ

3、= 90º-φ 、 F=2kRsinφ,,,由牛頓第二定律,整理后可得:,由動力學方程: 切向投影有 mat = mgcos60º at = 4.9m/s²法向投影有 man = 0 = F1 + F2 – mg sin60º 平動物體, 角加速度恒為零, 故有,(F1+F2)cos60º·b/2+(F1- F2)sin60º·b/2

4、 = 0 ,綜 – 4 正方形均質板的質量為 40kg , 在鉛直平面內以三根軟繩拉住, 板的邊長b = 100mm. 求: ( 1 ) 當軟繩FG 剪斷后, 木板開始運動時的加速度及AD 和 BE 兩繩 的張力; ( 2 ) 當AD 和 BE 兩繩位于鉛直位置時, 板中心C 的加速度和兩繩的張力.,由 , 聯立可得 F1 = 71.8 (N) F2 = 267.8 (N

5、),解: (1) 取板分析 初瞬時問題, 只有切向加速度.,,,,,,設繩長為L , 由動能定理得:,,由質心運動定理及對質心的動量矩定理:,聯立求得: F1 = F2 = 248.5(N),(2) 取最低位置板分析,,,,,對A塊 , 有動力學方程,聯立 (1) (2) (3) (4) (5)得:,對B塊, 有動力學方程,由運動學關系:,綜 – 5 圖示三棱柱A 沿三棱柱B 的斜面滑動. A 和 B的質量各為 m1 和m2

6、 .三棱 柱B 的斜面與水平面成? 角. 不計摩擦. 求三棱柱B 的加速度.,取B處的小球分析: 由相對運動微分方程,A,在鉛直方向投影,取系統(tǒng)分析: 水平方向動量守恒,由動能定理,聯立 (1) (2) 可得,綜 – 10 質量為 m0 的物體上刻有半徑為r 的半圓槽, 放在光滑的水平面上, 原處于靜止狀態(tài). 有一質量為 m 的小球自A 處無初速地沿光滑的半圓槽下滑. 若m0 = 3m , 求小球滑到B 處時相對于

7、物體的速度和槽對小球的正壓力.,,設A塊由靜止上升了s 米,解 : ( 1 )取系統(tǒng)分析:,,由動能定理 T2 –T1 = ∑W,綜 – 13 圖示機構中, 物塊A 、B 的質量均為 m , 兩均質圓輪的質量均為2m , 半徑均為R. 輪C鉸接于無重的懸臂梁CK上, D為動滑輪, 梁的長度為3R, 繩與輪之間無滑動. 系統(tǒng)由靜止開始運動. 求: ( 1 ) A物塊上升的加速度; ( 2 ) HE段繩的拉力; ( 3 ) 固定

8、端K處的約束反力.,由對固定點的動量矩定理,(2) 取A塊,C 輪組合體分析,E,由動量定理有:,X方向:,Y方向:,(3) 取KC桿分析,平衡問題:∑X = 0: ∑Y = 0: ∑MK(F) = 0:,解: (1) 系統(tǒng)分析, 如圖示 , 由動能定理 T2 –T1 = ∑WA,補充例題: 圖示均質桿AB長為l , 放在鉛直平面內, 桿的一端A靠在光滑的鉛直 墻上, 另一端B在光滑

9、的水平地板上, 并與水平面成?0. 此后, 令桿由靜止倒下. 求: ( 1 ) 桿在任意位置時的角加速度和角速度; ( 2 ) 當桿脫離墻時, 此桿與水平面所夾的角.,(2) 由題意及圖示, 桿脫離墻壁時必有 FA = 0 , 故先求 FA = ?,桿在脫離墻壁前有質心運動定理( 水平投影 ):,解: (1) B端未脫離墻壁前桿作定軸轉動, 由動能定理有:,,綜 – 19 均質桿AB長為l ,質量為m , 起

10、初緊靠在鉛垂的墻壁上. 由于微小的干擾, 桿 繞B點傾倒如圖. 不計摩擦. 求: ( 1 ) B端未脫離墻時AB桿的角速度和角加速度和B處的約束反力 ; ( 2 ) B端脫離墻時的夾角?1 = ? ( 3 ) 桿著地時質心的速度及桿的角速度.,(2) B 端剛脫離墻壁時, FB = 0 由上式可得:,,(3) 在上述FB = 0 以后,質心水平速度守恒, 且在A端著地之前桿作

11、平面運動.,整個過程中約束反力不作功, 由動能定理得:,而在A即觸地面時有:,(速度投影定理 ),系統(tǒng)的質心守恒, 初始系統(tǒng)的質心B*靜止,綜 – 27 ( 五版下冊 ) 兩質量皆為m ,長皆為 l 的相同的均質桿AB與BC, 在點B處用光滑鉸鏈連接. 在兩桿的中點之間連一剛度為k 的無質量的彈簧, 彈簧原長為l/2. 初始 時將此兩桿拉開成一直線, 靜止放在光滑的水平面上. 求桿受微小干擾而合攏成互相垂直時, B點的速度和各桿的角速度

12、.,,補充例題 均質桿AB的質量為m, 長為L , 用兩根柔索懸掛, 如圖示. 現將OB繩突然切斷, 求此瞬時AB桿的角加速度和AD繩的張力.,解: (1) 球桿系統(tǒng)在重力作用下的運動(方程).,,習 12 – 15 圖示兩小球A和B,質量分別為 mA = 2kg , mB = 1kg . 用AB = l = 0.6m的無重剛桿連接. 在初瞬時, 桿在水平位置, B不動, 而A的速度VA = 0.6? m/s

13、 , 方向鉛直向上. 求: ( 1 ) 兩小球在重力作用下的運動; ( 2 ) 在t = 2 秒時, 兩小球在定坐標系A – xy 的位置; ( 3 ) 在t = 2 秒時, 桿軸線方向的內力.,(2) t = 2 秒時, 兩球相對于定坐標系 A – xy的位置,(1) 球桿系統(tǒng)在重力作用下的運動(方程).,(3) t = 2 秒時, 桿軸線方向的內力.,注: (1) 亦可取A球分析, 最后的結果相同.