電磁學(xué)第1章

1、電磁學(xué) (Electromagnetism),1,前言（Preface),一、本章的基本內(nèi)容及研究思路,靜電荷 產(chǎn)生場(chǎng)—靜電場(chǎng)庫侖定律和疊加原理電場(chǎng)強(qiáng)度和電位電力線和等位面高斯定理和環(huán)路定理,電磁學(xué) (Electromagnetism),2,二、本章的基本要求,1.理解庫侖定律和疊加原理；2.正確理解電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)這二個(gè)基本概念，掌握計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分布和電勢(shì)分布的幾種方法；3.掌握電通量的概念及電通量的計(jì)算方法；4.掌握反映靜

2、電場(chǎng)性質(zhì)的二條基本定理—高斯定理和環(huán)路定理，正確理解電場(chǎng)的性質(zhì)；5.理解電力線的概念，掌握電力線的性質(zhì)。,電磁學(xué) (Electromagnetism),3,三、本章思考題及作業(yè)題,1.思考題：36頁—37頁；2.練習(xí)題：1.3.9. 1.4.1. 1.4.7. 1.6.3. 1.6.8.,電磁學(xué) (Electromagnetism),4,§1. 電荷（electric charge),自然界一切電磁現(xiàn)象都起源于

3、物質(zhì)具有電荷屬性，電現(xiàn)象起源于電荷，磁現(xiàn)象起源于電荷運(yùn)動(dòng)，所以“電荷”概念是電磁學(xué)中的最基本的概念。人們對(duì)于電的認(rèn)識(shí)，最初來自人工的摩擦起電現(xiàn)象和自然界的雷電現(xiàn)象。,一、摩擦起電 兩種電荷（electrification by friction）,電磁學(xué) (Electromagnetism),5,帶電狀態(tài)帶電體實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：自然界中只有兩種電荷用絲綢摩擦過的玻璃棒所帶的電荷為正電荷；用毛皮摩擦過的硬橡膠棒所帶的電荷為負(fù)電荷。同種電荷

4、相互排斥，異種電荷相互吸引。當(dāng)異種電荷在一起時(shí)，它們的效應(yīng)有互相抵消的作用。,電磁學(xué) (Electromagnetism),6,物體帶電的原子結(jié)構(gòu)解釋： 自然界一切物質(zhì)都是由原子、分子組成。原子是由帶負(fù)電的電子和帶正電的原子核組成。在正常情況下，兩種電量相等，物體呈中性。當(dāng)因某種原因（摩擦、加熱、化學(xué)變化等）失去或獲得一部分電子時(shí)，就成為具有吸引其他微小物體的性質(zhì)的帶電體。根據(jù)物體的導(dǎo)電性 導(dǎo)體

5、 絕緣體（電介質(zhì)） 半導(dǎo)體,電磁學(xué) (Electromagnetism),7,金屬之所以導(dǎo)電，是因?yàn)閮?nèi)部存在許多自由電子，它們可以擺脫原子核的束縛而自由地在金屬內(nèi)部運(yùn)動(dòng)；酸、堿、鹽的水溶液（電解液）之所以導(dǎo)電，是因?yàn)閮?nèi)部存在許多能作宏觀運(yùn)動(dòng)的正、負(fù)離子；反之，在絕緣體內(nèi)部，由于電子受到原子核的束縛，基本上沒有自由電子，因而呈絕緣性質(zhì)。,電磁學(xué) (Electromagnetism),8,二、

6、電荷守恒定律(law of electric charge conservation),實(shí)驗(yàn)表明：在一個(gè)與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變。或者一個(gè)孤立系統(tǒng)的總電荷是不變的。所謂“孤立”系統(tǒng)，指的是不允許任何物質(zhì)通過其邊界的系統(tǒng)。這個(gè)原理就是通常所說的電荷守恒定律。電荷守恒電率是物理學(xué)中的最基本的定律之一。,電磁學(xué) (Electromagnetism),9,電荷守恒定律既適用于一切宏觀過程，也適

7、用于一切微觀過程。在宏觀過程中，物體電荷改變，往往是由于電子的轉(zhuǎn)移而引起的。摩擦起電現(xiàn)象就是電荷從一個(gè)物體到另一個(gè)物體的轉(zhuǎn)移；靜電感應(yīng)現(xiàn)象則是電荷物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。,電磁學(xué) (Electromagnetism),10,三、電荷的量子性（charge quantization）,上述物質(zhì)結(jié)構(gòu)的圖象表明：在自然界中，任何帶電體的電荷量值總是以某一基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn)，這個(gè)基本單元就是一個(gè)質(zhì)子或一個(gè)電子所帶電量的絕對(duì)值e。

8、 迄今我們所能測(cè)定的一切帶電粒子的電荷，都準(zhǔn)確地等于這個(gè)數(shù)值或其整數(shù)倍。 在基本粒子的夸克模型中，夸克被認(rèn)為帶有分?jǐn)?shù)電荷，但未被實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)。,電磁學(xué) (Electromagnetism),11,一、Coulomb’s law 1785年，法國科學(xué)家?guī)靵鲇门こ訙y(cè)量了兩個(gè)帶電小球間的作用力：在真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力的大小和它們所帶電量q1和q2的乘積成正比，與它們之間的距離r 的平方成反比；作用力的方向沿著它

9、們的連線，同號(hào)電荷相斥，異號(hào)電荷相吸。,§2.庫侖定律(Coulomb’s law),電磁學(xué) (Electromagnetism),12,所謂點(diǎn)電荷，是指帶電體的線度比帶電體之間的距離小得多，形狀及其電荷分布已無關(guān)緊要的帶電體。,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：,其中k是比例常數(shù)，依賴于各量單位的選取。,電磁學(xué) (Electromagnetism),13,二、電量的單位 物體所帶電荷的多少叫電量。在國際單位制中電量的單位是庫侖，記作C

10、。 在國際單位制中，庫侖定律中的比例常數(shù)k為實(shí)驗(yàn)所測(cè)量得到：,從而得到：,,電磁學(xué) (Electromagnetism),14,式中F單位為牛頓，q的單位為庫侖，r的單位為米。為了簡(jiǎn)化電學(xué)中其他的許多常用式子（使公式中不出現(xiàn)4π因子），往往寫成：,,,電磁學(xué) (Electromagnetism),15,因此，庫侖定律的常用式子寫成：,,在MKSA單位制中，長度（L）﹑質(zhì)量（M）﹑時(shí)間（T）﹑電流強(qiáng)度（I）為基本量，任何一個(gè)物理

11、量Q的量綱具有如下形式：,,例如：,,電磁學(xué) (Electromagnetism),16,三、庫侖定律的矢量形式,,,其中 ，表示點(diǎn)電荷q1對(duì)點(diǎn)電荷q2的作用力， 表示點(diǎn)電荷q2對(duì)點(diǎn)電荷q1的作用力。,電磁學(xué) (Electromagnetism),17,,從上面兩式可知， ，即靜止點(diǎn)電荷之間的庫侖力滿足牛頓第三定律。如果用 表示由施力電荷指向受力電荷的單位矢，則上面兩式中的附標(biāo)可以刪掉，簡(jiǎn)化為：,當(dāng) 同號(hào)

12、時(shí)， ， F和r同向，表示為斥力； 當(dāng) 異號(hào)時(shí)， ， F和r反向，表示為引力。,電磁學(xué) (Electromagnetism),18,補(bǔ)充說明三點(diǎn)：（1）原來庫侖定律是 從兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷得到的實(shí)驗(yàn)定律，后來大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明，只要施力電荷靜止，即使受力電荷運(yùn)動(dòng)，庫侖定律仍然適用。因此庫侖定律的適用條件可以放寬為：施力電荷必須是靜止，受力電荷可以是靜止的，也可以是運(yùn)動(dòng)的；（2）庫侖定律和萬有引力定律在數(shù)學(xué)形

13、式上極為相似，不同的是，萬有引力總是引力，庫侖力可以是引力，也可以是斥力。注意這種相似和區(qū)別（是否有質(zhì)的統(tǒng)一性是一個(gè)謎？）；,電磁學(xué) (Electromagnetism),19,（3）庫侖定律是電磁學(xué)的基本定律， 包括著名的α粒子放射以及地球物理探測(cè)在內(nèi)的大量實(shí)驗(yàn)表明，庫侖定律小至原子、原子核的線度，大至地球的線度內(nèi)，即在10-15m—107m的范圍內(nèi)是可靠的。,電磁學(xué) (Electromagnetism),20,作用在每一個(gè)點(diǎn)電荷上的

14、總靜電力等于其他各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于該點(diǎn)電荷靜電力的矢量和，這就是靜電力的疊加原理，也叫獨(dú)立作用原理。,四、迭加原理,電磁學(xué) (Electromagnetism),21,,庫侖定律與疊加原理相配合，原則上可以解決靜電力中的全部問題。,§3. 靜電場(chǎng)（electrostatic field),一、電場(chǎng)強(qiáng)度（electric field strength),電磁學(xué) (Electromagnetism),22,電荷之間的作用是

15、怎樣進(jìn)行的？ 庫侖定律沒有回答這個(gè)問題，正是對(duì)這個(gè)問題的不同解釋以及由此而引起的長期爭(zhēng)論，導(dǎo)致了場(chǎng)概念的建立和場(chǎng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展，從此把人們引入一個(gè)新的極為重要的物質(zhì)世界領(lǐng)域。電荷之間的相互作用是怎樣進(jìn)行的？ 已學(xué)過的推，拉，提，壓等力。 存在于直接接觸的物體之間的，這種力的作用，叫接觸作用或近距作用,,電磁學(xué) (Electromagnetism),23,電力（電荷之間的相互作用力）、磁力（如磁鐵對(duì)磁塊的吸引力）

16、和重力等，都可以發(fā)生在兩個(gè)相隔一定距離的物體之間，而在兩個(gè)物體之間并不需要有任何由原子、分子組成的物質(zhì)作媒介。圍繞著這個(gè)問題，在歷史上曾有過長期的爭(zhēng)論超距作用 力不需要任何媒介觀點(diǎn)近距作用 “以太”來傳遞,電磁學(xué) (Electromagnetism),24,近代物理學(xué)的發(fā)展證明，“超距作用”的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，電力和磁力的傳遞雖然很快（3×108m·s-1），但并非不需要時(shí)間，而歷史上持“近距作用”的觀點(diǎn)的人

17、所假定的那種“彈性以太”也是不存在。實(shí)際上，電力和磁力是通過電場(chǎng)和磁場(chǎng)來作用的。上述兩種觀點(diǎn)可圖解為：,相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)叫做靜電場(chǎng)，電荷是電場(chǎng)的源，所以叫做場(chǎng)源，也叫源電荷。,電磁學(xué) (Electromagnetism),25,運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的電磁場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源而獨(dú)立存在。正如湖面上投石激波，水波可以脫離波源而繼續(xù)存在、傳播一樣；變化的電磁場(chǎng)有“推遲效應(yīng)”，正如聽到鐘聲和擊鐘之間有時(shí)間間隔一樣，這些都是“超距作用”所無法說明

18、的，而場(chǎng)的觀點(diǎn)卻能圓滿做出解釋，由場(chǎng)的觀點(diǎn)出發(fā)所作的計(jì)算也是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致的。因此，場(chǎng)的觀點(diǎn)得到證實(shí)。,電磁學(xué) (Electromagnetism),26,場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)基本屬性： 1.力的屬性 把電荷q0放在電場(chǎng)中，就會(huì)受到電場(chǎng)力的作用。 2.能的屬性 如果讓電荷q0在電場(chǎng)力作用下從靜止 開始運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力就會(huì)對(duì)電荷做功，如果不存在 其他作用力，這個(gè)電荷的速度就會(huì)越來越大，這 就說明，電場(chǎng)還有做功的本領(lǐng)

19、，電場(chǎng)具有能量。,電磁學(xué) (Electromagnetism),27,力的屬性 用電場(chǎng)強(qiáng)度來描述。用試探電荷來探測(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布試探電荷 1.必須足夠小，可以看作點(diǎn)電荷2.q0的引入不會(huì)引起激發(fā)場(chǎng)的源電荷的空間 分布的變化,電磁學(xué) (Electromagnetism),28,實(shí)驗(yàn)結(jié)果：1.檢驗(yàn)電荷q0放入電場(chǎng)不同地點(diǎn)時(shí)，q0 所受力的大 小和方向逐點(diǎn)不同；但在電場(chǎng)中任一固定點(diǎn)，q0所受電場(chǎng)力和q0的大小

20、成正比地改變，而力的方向不變。2.如果把q0換成等量異號(hào)的電荷，則力的大小不變，方向相反。,電磁學(xué) (Electromagnetism),29,對(duì)于電場(chǎng)中的固定點(diǎn)來說，比值 是一個(gè)無論大小和方向都與試探電荷無關(guān)的矢量，它是反映電場(chǎng)本身性質(zhì)的。定義為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，簡(jiǎn)稱 為場(chǎng)強(qiáng)，用 表示：,結(jié)論：,電磁學(xué) (Electromagnetism),30,電場(chǎng)強(qiáng)度是描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量（矢量）大?。?jiǎn)挝粰z驗(yàn)電

21、荷在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的大小方向：正檢驗(yàn)電荷在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的方向注意：某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)是否存在電荷無 關(guān)，因?yàn)樵擖c(diǎn)電荷僅起檢驗(yàn)作用！ 單位： N/C 或者V/m （電工計(jì)量）,電磁學(xué) (Electromagnetism),31,E(x、y、z)是矢量點(diǎn)函數(shù)，矢量的總體稱為矢量場(chǎng)，它是一種空間分布！“求某一帶電體激發(fā)的電場(chǎng)”就是指求出場(chǎng)強(qiáng)與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系E(x、y、z)。 從場(chǎng)的觀點(diǎn)來說，一個(gè)電荷對(duì)另一個(gè)電荷的

22、作用包含兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的過程，點(diǎn)電荷q1在周圍產(chǎn)生電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)置于其中的另一點(diǎn)電荷q2施加電場(chǎng)力，由此可見，庫侖定律實(shí)質(zhì)上就是電荷間作用的兩個(gè)過程的綜合描述。,電磁學(xué) (Electromagnetism),32,二、場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算,1、點(diǎn)電荷Q 激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng),以點(diǎn)電荷Q 所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)o，取任意距o為r的點(diǎn)P為場(chǎng)點(diǎn)，設(shè)想把一個(gè)試探電荷q放在P點(diǎn)，根據(jù)庫侖定律，q所受的力為：,根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的定義式，得到P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：,,點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式是最基本

23、同時(shí)又是最重要的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算式！,電磁學(xué) (Electromagnetism),33,2、場(chǎng)強(qiáng)迭加原理（superposition principle of field),若電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷系 共同激發(fā)的，由電場(chǎng)力疊加原理，檢驗(yàn)電荷 在場(chǎng)點(diǎn)p所受電場(chǎng)力等于各個(gè)場(chǎng)源點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于 的電場(chǎng)力 的矢量和。,,,由電場(chǎng)強(qiáng)度定義，P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為,電磁學(xué) (Electromagnetism),

24、34,上式表明：點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。這個(gè)結(jié)論稱為場(chǎng)強(qiáng)疊加原理。,3、電荷的連續(xù)分布,如果電荷的分布是連續(xù)的，根據(jù)不同的情況，有時(shí)把電荷看成在一定體積內(nèi)連續(xù)分布，有時(shí)把電荷看成在一定曲面上連續(xù)分布，有時(shí)把電荷看成在一定曲線上連續(xù)分布。在這些情況下，就需要引入電荷的體密度、面密度、線密度概念。,電磁學(xué) (Electromagnetism),35,（1）電荷體密度 假若有一

25、帶電系統(tǒng)，在體積中某點(diǎn)周圍取一個(gè)小體元 　，設(shè) 內(nèi)的電量為 ，則,,這里 是一種數(shù)學(xué)上的抽象，實(shí)際上指的是物理無限小體元，即宏觀看來很小而微觀看來很大的體元。,電磁學(xué) (Electromagnetism),36,在數(shù)值上等于單位體積內(nèi)的電荷，它是一個(gè)標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)。（2）電荷面密度　　在一個(gè)連續(xù)分布電荷的曲面上某點(diǎn)周圍取一小面元△S，設(shè)△S內(nèi)的電量為△q， 則,稱為電荷面密度，在數(shù)值上等于單位面積內(nèi)的電荷，它也是

26、一個(gè)標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)。,電磁學(xué) (Electromagnetism),37,（3）電荷線密度,在一個(gè)連續(xù)分布電荷的幾何曲線上某點(diǎn)周圍取一小線元△l,設(shè)△l上的電量為△q,則,稱為電荷線密度，在數(shù)值上等于單位長度內(nèi)的電荷，它也是一個(gè)標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)。,電磁學(xué) (Electromagnetism),38,4、連續(xù)分布的電荷的電場(chǎng)計(jì)算,[例1] 求一均勻帶電直線在P點(diǎn)的電場(chǎng)。,解：建立如圖直角坐標(biāo)系,將,投影到坐標(biāo)軸上,電磁學(xué) (Electromag

27、netism),39,積分變量代換：,電磁學(xué) (Electromagnetism),40,同理可算出：,電磁學(xué) (Electromagnetism),41,討論：當(dāng)直線長度,無限長均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)：,{,,電磁學(xué) (Electromagnetism),42,思考：當(dāng)直線長度 ?,當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于直線的中垂面上離中心為a?,當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于直線的延長線上離中心為a?,電磁學(xué) (Electromagnetism),43,[例2]

28、 求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)x處的電場(chǎng)。,,由對(duì)稱性：,解：,電磁學(xué) (Electromagnetism),44,電磁學(xué) (Electromagnetism),45,當(dāng)dq 位置發(fā)生變化時(shí)，它所激發(fā)的電場(chǎng)矢量構(gòu)成了一個(gè)圓錐面，所以，由對(duì)稱性：,電磁學(xué) (Electromagnetism),46,討論：① 當(dāng)x= 0時(shí)，即園環(huán)中心處的電場(chǎng)為零，也可由對(duì)稱性質(zhì)得到； ② 當(dāng)R<<x時(shí)，即故有

29、 （這是點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式）；,電磁學(xué) (Electromagnetism),47,③ 軸線上什么地方場(chǎng)強(qiáng)的值最大？通過求微分，就可以找到 Emax對(duì)應(yīng)x的值。,電磁學(xué) (Electromagnetism),48,電磁學(xué) (Electromagnetism),49,[例3] 求均勻帶電園盤軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，已知園盤半徑為R，電荷面密度為σ。,電磁學(xué) (Electromagnetism),50,（方法一：二重積分）建立如圖

30、所示坐標(biāo)系，以盤心o為圓心作兩個(gè)半徑為r和r+dr的園，再作兩條夾角為 的半徑，設(shè)截起一個(gè)很小的“半扇形”。因 很小，可以認(rèn)為這個(gè)半扇形為矩形，其長、寬各為dr及 ，其面積為,考慮對(duì)稱性，P點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng) 將平行于z軸，因此只須對(duì) 沿軸線的分量 積分即可。,電磁學(xué) (Electromagnetism),51,電磁學(xué) (Electromagnetism),52,電磁學(xué) (Electroma

31、gnetism),53,討論：① 當(dāng)R>>z 時(shí)，,電磁學(xué) (Electromagnetism),54,② 當(dāng)R<< z時(shí)根據(jù)牛頓二項(xiàng)式定理，有忽略 以上的項(xiàng)，得到,電磁學(xué) (Electromagnetism),55,（方法二：一重積分）把整個(gè)園盤看成是無限多個(gè)同心園環(huán)組成，每個(gè)園環(huán)的場(chǎng)強(qiáng)公式由[例2]得到，對(duì)所有園環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)求和（一重積分），即可求出結(jié)果。,電磁學(xué) (Elec

32、tromagnetism),56,總場(chǎng)強(qiáng)為：,電磁學(xué) (Electromagnetism),57,§4. 高斯定理 (Gauss’ theorem),高斯定理是靜電場(chǎng)的一個(gè)重要定理，它是關(guān)于電場(chǎng)中閉合曲面電通量的定理，在討論這個(gè)定理之前先介紹電通量的概念。,一、電通量（electric flux),通量是描述矢量場(chǎng)性質(zhì)的一個(gè)物理量，流體力學(xué)中流量的概念是大家熟知的，我們就從流量來引入通量的概念。,電磁學(xué) (Electrom

33、agnetism),58,如圖所示，在流速場(chǎng)中（在流體力學(xué)中，速度v是一個(gè)矢量函數(shù)，整個(gè)流體是一個(gè)速度場(chǎng)），取一微小面元ΔS,n為面元ΔS的法線方向的單位矢量。,電磁學(xué) (Electromagnetism),59,單位時(shí)間內(nèi)流過ΔS的流體體積叫做ΔS的通量，由于ΔS很小，可以認(rèn)為其上各點(diǎn)的流速v處處相等。單位時(shí)間內(nèi)通過ΔS的流體體積，它在數(shù)值上等于以ΔS為底以v為母線的柱體體積，即,（稱為該矢量對(duì)面元ΔS的通量）,將上面通量的定義推廣到

34、任意矢量場(chǎng) ，則,電磁學(xué) (Electromagnetism),60,電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的通量稱為電通量。設(shè)電場(chǎng)中某一點(diǎn)p的場(chǎng)強(qiáng)為E，包含P點(diǎn)取一面元 ，n為面元法線方向的單位矢， 為E和n之間的夾角。我們定義：面元 的電通量為：,即場(chǎng)強(qiáng)E與面元 在場(chǎng)強(qiáng)方向的投影的乘積就是面元 電通量。,電磁學(xué) (Electromagnetism),61,下面對(duì)電通量作進(jìn)一步的討論（1）電通量是代數(shù)量。場(chǎng)強(qiáng) 和面元矢量

35、 的夾角θ之不同，電通量有正、負(fù)。,（2）電通量是場(chǎng)強(qiáng) 在曲面上的積分量，它不僅與場(chǎng)強(qiáng)有關(guān)，還與曲面的大小、方向有關(guān)，因此，它不是點(diǎn)函數(shù)，只能說某曲面的電通量，不能講某點(diǎn)的電通量。,電磁學(xué) (Electromagnetism),62,（3）如果是有限曲面S，則面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小和方向一般是不同的，這時(shí)可以把此曲面分成無限多個(gè)面元ds,整個(gè)曲面S的電通量 就是所有面上電通量的代數(shù)和，即為：,電磁學(xué) (Electromagne

36、tism),63,這里要注意一個(gè)曲面的法線式兩有正、反兩種取法，對(duì)于非閉合曲面來講，可取其中任意一個(gè)為法線矢量的正方向；但對(duì)于閉合曲面來講，它把空間劃分為內(nèi)外兩部分，其法線矢量的兩種取向就有了特定的意義，通常規(guī)定外法線矢量為正。,如果是封閉曲面，則電通量為：,電磁學(xué) (Electromagnetism),64,二、高斯定理,那么，如何實(shí)際地計(jì)算電場(chǎng)中任一曲面，尤其是閉合曲面的電通量呢？1839年，德國科學(xué)家高斯在這方面作了重要工作。高斯

37、定理是電磁學(xué)中的一條重要定理，它是關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度（場(chǎng)）與電荷（源）之間的關(guān)系的定理。從庫侖定律出發(fā)，通過數(shù)學(xué)關(guān)系，推導(dǎo)出比庫侖定律更廣泛更重要的高斯定理。,電磁學(xué) (Electromagnetism),65,高斯定理可以表述為：靜電場(chǎng)中任意閉合曲面 的電通量 ，等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和 除以 ，與閉合面外的電荷無關(guān)。這里 通常是一個(gè)假象的閉合曲面，習(xí)慣上叫高斯面。其數(shù)學(xué)形式為：,電磁學(xué) (El

38、ectromagnetism),66,（1）包圍點(diǎn)電荷q的同心球面的電通量都等于,下面我們從特殊到一般，根據(jù)庫侖定律和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，分幾步來證明這個(gè)定理。,電磁學(xué) (Electromagnetism),67,因此通過整個(gè)閉合球面的電通量為：,當(dāng)點(diǎn)電荷為負(fù)時(shí)（q<0），球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向與該點(diǎn)所在面元法線方向相反，整個(gè)球面的電通量為負(fù)，所以上式仍然成立。這一結(jié)果的重要性在于電通量φe與球面半徑r無關(guān)。,電磁學(xué) (Electromag

39、netism),68,（2）包圍點(diǎn)電荷q的任意閉合曲面的電通量都等于,,需補(bǔ)充一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)—立體角,平面角:一個(gè)圓，其半徑為r，弧長為 那么平面角為：,整個(gè)圓周所張的角：,電磁學(xué) (Electromagnetism),69,對(duì)于兩個(gè)同心圓，半徑不同，弧長也不同，但可對(duì)應(yīng)同一個(gè)平面角，即 與半徑r的選擇無關(guān)。,立體角：一個(gè)球面上的面元 ds，對(duì)球心所張的角，在空間包圍一定的范圍,可想象為一

40、個(gè)錐體的“ 頂角 ”,用 表示，仿照度量平面角的方法，即,電磁學(xué) (Electromagnetism),70,整個(gè)球面對(duì)球心所張的立體角,對(duì)于兩個(gè)同心球面，隨著半徑r增大，面積ds也增大，但對(duì)應(yīng)的立體角不變，即,電磁學(xué) (Electromagnetism),71,任意面元對(duì)一點(diǎn)所張的立體角,電磁學(xué) (Electromagnetism),72,若由P點(diǎn)到面元的矢徑 與面元法線方向相同，則 若 與面元不垂直

41、，即 與面元法線有夾角θ，則 由此可見，立體角也有正、負(fù)之分：,電磁學(xué) (Electromagnetism),73,電磁學(xué) (Electromagnetism),74,閉合面的總通量為：,電磁學(xué) (Electromagnetism),75,(3)通過不包圍點(diǎn)電荷的任意閉合曲面s的電通量恒為零,電磁學(xué) (Electromagnetism),76,（4）多個(gè)點(diǎn)電荷的場(chǎng),設(shè)系統(tǒng)中有個(gè)K點(diǎn)電荷，其中有 個(gè)點(diǎn)電荷

42、在閉合面內(nèi)， 個(gè)點(diǎn)電荷在閉合面外，由電場(chǎng)的疊加原理，總的場(chǎng)強(qiáng)是各點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。,電磁學(xué) (Electromagnetism),77,電磁學(xué) (Electromagnetism),78,高斯定理包含著深刻的物理內(nèi)容，它的意義和重要性，將通過反復(fù)應(yīng)用，逐漸體會(huì)。注意幾點(diǎn)：（1) Gauss定理與庫侖定律不是兩個(gè)獨(dú)立的物理定律，只是用不同的方式表達(dá)同一定律，Gauss定理取決于相互作用平方反比的性質(zhì)，還取

43、決于作用的迭加性質(zhì)，它揭示了場(chǎng)與場(chǎng)源間的聯(lián)系。（2) 高斯定理只告訴我們，閉合面的總通量僅由面內(nèi)的電荷決定的，并沒有說面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)僅由面內(nèi)的電荷產(chǎn)生。場(chǎng)強(qiáng)仍應(yīng)理解為所有電荷的總場(chǎng)強(qiáng)。,電磁學(xué) (Electromagnetism),79,要注意區(qū)別電場(chǎng)強(qiáng)度的通量和電場(chǎng)強(qiáng)度本身。（3) 是代數(shù)和，當(dāng) 時(shí)并不意味著閉合面內(nèi)一定沒有負(fù)電荷，也不意味著閉合面上一定沒有負(fù)的通量，但是閉合面的總通量必然為正。反之，當(dāng)

44、 時(shí)，并不意味著閉合面內(nèi)一定沒有正電荷，也不意味著閉合面上一定沒有正的通量，但是閉合面的總通量必然為負(fù)。所以要注意區(qū)別閉合面上的部分通量和總通量。,（4)當(dāng) 時(shí)，并不說明閉合面內(nèi)一定沒有電荷，而可能是有等量異號(hào)的電荷，同時(shí)，它只能說明閉合面的總通量為零，而并非面上的場(chǎng)強(qiáng)處處為零。,電磁學(xué) (Electromagnetism),80,三、用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng),只有電場(chǎng)的分布具有一定的對(duì)稱性時(shí)，才能夠直接運(yùn)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。

45、,電磁學(xué) (Electromagnetism),81,[例1] 均勻帶電球面的電場(chǎng)，球面半徑為R,帶電為q。,分析：場(chǎng)的分布有怎樣的對(duì)稱性？高斯面怎樣作？由于電荷分布是球?qū)ΨQ性的，所以電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性，即任意同心球面上，各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向沿矢徑方向。,電磁學(xué) (Electromagnetism),82,作同心且半徑為r的高斯面,電磁學(xué) (Electromagnetism),83,[例2] 無限長均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)。圓柱半徑

46、為R，沿軸線方向單位長度帶電量為?。,分析：場(chǎng)分布有怎樣的對(duì)稱性？高斯面怎樣作？由于電荷分布是軸對(duì)稱性的，所以電場(chǎng)也具有軸對(duì)稱性，即與圓柱軸線距離相等的各點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向垂直柱面呈輻射狀。,電磁學(xué) (Electromagnetism),84,電磁學(xué) (Electromagnetism),85,,r,0,R,,,,E,電磁學(xué) (Electromagnetism),86,[例3] 求無限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)，電荷面密度為σ。分析：

47、場(chǎng)的分布具有怎樣的對(duì)稱性？高斯面怎樣作？由對(duì)稱性可以得到什么結(jié)論？,電磁學(xué) (Electromagnetism),87,由Gauss’ theorem可得,利用上面的結(jié)果請(qǐng)同學(xué)們思考：兩帶等量異號(hào)電荷相互平行的無限大平面之間的場(chǎng)強(qiáng)為 ，外部場(chǎng)強(qiáng)為為O。,電磁學(xué) (Electromagnetism),88,從以上幾個(gè)例題可以看出，利用高斯定理的關(guān)鍵在于對(duì)稱性分析，其次是高斯面的選取。一般做法：高斯面的各個(gè)部分或者與

48、 平行，或者與 垂直；與 垂直的那部分高斯面上，各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)相等。雖然這樣的帶電體系并不多，但在幾個(gè)特例中得到的結(jié)果都是很重要的。這些結(jié)果的實(shí)際意義往往不限于這些特例本身，很多實(shí)際的場(chǎng)合都可用它們來作近似的估算。利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)，只體現(xiàn)這個(gè)定理重要性的一個(gè)方面，更重要的意義在于它是靜電場(chǎng)兩個(gè)基本定理之一。,電磁學(xué) (Electromagnetism),89,為了形象地描繪場(chǎng)強(qiáng)在空間的分布，使電場(chǎng)有一個(gè)比較直觀的圖象，通常引

49、入電場(chǎng)線的概念。是法拉第首先提出的。在電場(chǎng)中畫一組曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的電場(chǎng)方向一致，這一組曲線稱為電場(chǎng)線。,§6. 電場(chǎng)線（line of electric force),一、電場(chǎng)線,電磁學(xué) (Electromagnetism),90,為了定量地描寫電場(chǎng)，對(duì)電場(chǎng)線的畫法作如下的規(guī)定：在電場(chǎng)中任一點(diǎn)處，通過垂直于電場(chǎng)強(qiáng)度E單位面積的電場(chǎng)線數(shù)等于該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的數(shù)值。,電磁學(xué) (Electromagnetism),

50、91,電磁學(xué) (Electromagnetism),92,電磁學(xué) (Electromagnetism),93,電磁學(xué) (Electromagnetism),94,電磁學(xué) (Electromagnetism),95,,,+,+,+,+,+,+,+,+,+,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,電磁學(xué) (Electromagnetism),96,當(dāng)面元不與該處場(chǎng)強(qiáng)垂直時(shí)，由圖可知，通過 的電力線條數(shù)等于通過

51、 的電力線條數(shù)。,結(jié)論：通過任意面元 的電力線條數(shù)等于該面元的電通量。這樣，借助于電力線，我們又賦予電通量以幾何意義。,電磁學(xué) (Electromagnetism),97,二、電場(chǎng)線的性質(zhì),從各種帶電體的電場(chǎng)線的共同特征，可以歸納出靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線有如下一些性質(zhì)：性質(zhì)一: 電場(chǎng)線發(fā)自正電荷（或無限遠(yuǎn)），終止負(fù)電 荷（或無限遠(yuǎn)），在無電荷處不中斷。性質(zhì)二: 電場(chǎng)線不能構(gòu)成閉合曲線。性質(zhì)三：任何兩條電場(chǎng)線不相交。

52、注意:電場(chǎng)線不是電場(chǎng)中實(shí)際存在的線，更不要認(rèn)為電場(chǎng)線是電荷在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，這是因?yàn)殡妶?chǎng)線的切線方向是電荷受力的方向不是運(yùn)動(dòng)速度的方向。,電磁學(xué) (Electromagnetism),98,電場(chǎng)線的第一個(gè)性質(zhì):實(shí)際上是高斯定理的必然結(jié)果，也可以說是高斯定理的幾何表述，說明電荷是靜電場(chǎng)的源；第二個(gè)性質(zhì)實(shí)際上是靜電場(chǎng)的另一個(gè)重要定理—環(huán)路定理的必然結(jié)果，也可以說是環(huán)路定理的幾何表述，說明靜電場(chǎng)力做功和路徑無關(guān)。

53、理論上可以證明，靜電場(chǎng)是由高斯定理和環(huán)路定理共同確定的，在一定的邊界條件下，已知電荷分布產(chǎn)生的電場(chǎng)是唯一的。,電磁學(xué) (Electromagnetism),99,我們從庫侖定律出發(fā)，研究電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力，定義了電場(chǎng)強(qiáng)度這一重要概念，證明了高斯定理，下面我們要從另一個(gè)角度，即從電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力作功的角度來研究靜電場(chǎng)，將引出電勢(shì)這一重要概念，并得到靜電場(chǎng)的另一重要定理。其基礎(chǔ)仍是庫侖定律。,§6. 電勢(shì)（electric

54、 potential）,一、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,電磁學(xué) (Electromagnetism),100,1、靜電場(chǎng)力作功與路徑無關(guān)a) 單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)在點(diǎn)電荷Q的電場(chǎng)中,試探電荷q由a移到b,在此過程中，電場(chǎng)力要作功。由于各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不一樣，所以是一個(gè)變力作功的問題，需要對(duì)各段的元功進(jìn)行積分。,設(shè)由c到d這一段位移為 ，這一段的元功為：,電磁學(xué) (Electromagnetism),101,因?yàn)閹靵隽κ菑较蛄?，所以元位?在電

55、場(chǎng)力方向上的投影為：,電磁學(xué) (Electromagnetism),102,這結(jié)果表明，當(dāng)Q和q確定后，電場(chǎng)力所作的功只取決于運(yùn)動(dòng)電荷的始末位置而與路徑無關(guān)。,b) 多個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng),根據(jù)場(chǎng)的疊加原理：,故總電場(chǎng)力為：,總功為：,電磁學(xué) (Electromagnetism),103,展開后得到：,電磁學(xué) (Electromagnetism),104,由此可見，當(dāng)點(diǎn)電荷q在任意靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力所作的功只取決于運(yùn)動(dòng)的始末位置與路徑無

56、關(guān)。c) 連續(xù)分布的帶電體產(chǎn)生的場(chǎng) 可以把連續(xù)分布的帶電體看成由無數(shù)多個(gè)點(diǎn)電荷組成，因而上述結(jié)論也是成立的。2、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理 當(dāng)點(diǎn)電荷q在靜電場(chǎng)中沿任意閉合路徑繞行一周，電場(chǎng)力做功的數(shù)值應(yīng)該為 。,電磁學(xué) (Electromagnetism),105,在環(huán)路L上任取兩點(diǎn)A和B把L分成兩部分L1和L2，于是,由靜電場(chǎng)力作功與路徑無關(guān)這一性質(zhì)可知：,所以總功：,電磁學(xué) (Electromagnetism)

57、,106,該式表明：場(chǎng)強(qiáng)沿任意一個(gè)閉合路徑的線積分等于零。這個(gè)結(jié)論反映了靜電場(chǎng)特性的又一重要性質(zhì)，稱之為靜電場(chǎng)的環(huán)路定理。 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理是場(chǎng)力作功與路徑無關(guān)的必然結(jié)果，其兩者在物理意義上是等價(jià)的。,故：,由 可得電場(chǎng)線的一條重要性質(zhì)：“電力線不能構(gòu)成閉合曲線”。,電磁學(xué) (Electromagnetism),107,為了證明之，假有一條電力線是閉合曲線，沿這條曲線計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的線積分 ，由于

58、 的方向處處和 的方向一致，將得到到 ，這與環(huán)路定理矛盾，所以電力線不能閉合。,二、電勢(shì)和電勢(shì)差 我們以“電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)”的性質(zhì)為基礎(chǔ)，以功能原理為依據(jù)，討論電場(chǎng)力做功和電勢(shì)能變化的關(guān)系，再此基礎(chǔ)上定義電勢(shì)的概念，說明電勢(shì)的意義，最后介紹電勢(shì)的計(jì)算方法。,電磁學(xué) (Electromagnetism),108,1.電勢(shì)能電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)，靜電場(chǎng)與重力場(chǎng)相似，也可以引入勢(shì)能的概念。

59、分析：當(dāng)檢驗(yàn)電荷 從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，電場(chǎng)力要做功，而功是能量轉(zhuǎn)化的量度，這說明 從a點(diǎn)移到b點(diǎn)有能量變化。不管 從a點(diǎn)沿哪一條路徑移到b點(diǎn)，電場(chǎng)力對(duì)電荷 做的功都是相同的，這說明電荷 在a﹑b兩點(diǎn)的能量差是一定的，其值由這兩點(diǎn)的位置決定。這種由電荷在電場(chǎng)中的位置決定的能量，叫做電勢(shì)能。顯然，電勢(shì)能是電荷 和電場(chǎng)共同具有的。檢驗(yàn)電荷在a﹑b兩點(diǎn)的電位能，分別用 ﹑ 表示。,電磁學(xué) (Electroma

60、gnetism),109,當(dāng)電場(chǎng)力做正功時(shí):,由功能原理：,當(dāng)電場(chǎng)力做負(fù)功時(shí):,電磁學(xué) (Electromagnetism),110,電位能和重力位能一樣，也是一個(gè)相對(duì)量。只有先規(guī)定電荷在某一參考點(diǎn)的電位能為零，才能確定電荷在其他位置的電位能，如果選b為參考點(diǎn)，即,由上式可知，電荷 在場(chǎng)中某點(diǎn)的電位能，在數(shù)值上等于把 從該點(diǎn)移到參考點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功。理論上通常取無限遠(yuǎn)處的電位能為零,則 在a點(diǎn)的電位能,

61、電磁學(xué) (Electromagnetism),111,電位能可正、可負(fù)，電位能的單位為焦耳。 說明一點(diǎn)：電荷q在靜電場(chǎng)中之所以有電位能，是因?yàn)閝與場(chǎng)源電荷之間有電力作用的結(jié)果。故電位能并非屬于電荷q，而是屬于q 與場(chǎng)源電荷所組成的系統(tǒng)。習(xí)慣上，說q在某點(diǎn)的電位能，這是因?yàn)樵谒懻摰膯栴}中，場(chǎng)源電荷的位置不動(dòng)，系統(tǒng)的能量有變化時(shí)，只是可動(dòng)的試探電荷q 的位置變化的結(jié)果。電位能的概念屬于帶電體系。,電磁學(xué) (Electromagnetis

62、m),112,它反映了電場(chǎng)本身在a點(diǎn)的性質(zhì)，因此我們定義：電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電位能與它的電荷量的比值，叫做該點(diǎn)的電位。,2.電位,電磁學(xué) (Electromagnetism),113,它是反映電場(chǎng)本身“能的屬性”的物理量，與場(chǎng)中是否存在電荷無關(guān)。順著電力線方向，電位越來越低；同一電力線上的任意兩點(diǎn)的電位不會(huì)相等。這正是電力線不閉合性質(zhì)的另一種表達(dá)形式。,電磁學(xué) (Electromagnetism),114,3.電位差電場(chǎng)中兩點(diǎn)間

63、的電位差是一個(gè)絕對(duì)量﹗,三、電勢(shì)的計(jì)算[例1] 點(diǎn)電荷Q 所激發(fā)的電場(chǎng)中，若把參考點(diǎn)選在無限遠(yuǎn)，任一點(diǎn)P 的電位？,電磁學(xué) (Electromagnetism),115,由此看到：場(chǎng)中每一點(diǎn)，有一個(gè)r值，對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的U值，電位U的分布形成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。,[例2] 設(shè)有Q1，Q2，…，QK個(gè)點(diǎn)電荷，場(chǎng)中任一點(diǎn)P的電位？,電磁學(xué) (Electromagnetism),116,由此可見，場(chǎng)中任一點(diǎn)總的電位等于各電荷在該點(diǎn)電位的總和（因?yàn)?/p>

64、電位是標(biāo)量，總和是代數(shù)和），這個(gè)結(jié)果就是電位的疊加原理——總電位等于各個(gè)點(diǎn)電荷電位的代數(shù)和。,電磁學(xué) (Electromagnetism),117,[例3] 計(jì)算無限長均勻帶電直線電場(chǎng)的電勢(shì)分布。,因?yàn)闊o限長帶電直線的電荷分布延伸到無限遠(yuǎn)的，所以在這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢(shì)公式來計(jì)算電勢(shì)U，否則必得出無限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。同樣也不能直接用公式來計(jì)算電勢(shì)，不然也將得出電場(chǎng)任一點(diǎn)的電勢(shì)值為無限大的結(jié)果。,,r,O,P,,,

65、,Q,,,,,電磁學(xué) (Electromagnetism),118,這里可見：因?yàn)椤?”沒有意義，說明選擇無限遠(yuǎn)為參考點(diǎn)是不行的。,這里可見：因?yàn)椤?”沒有意義，說明選擇O為參考點(diǎn)是不行的。,電磁學(xué) (Electromagnetism),119,這可見，rQ取不同的值，UP就會(huì)有不同的值。若rQ=1，則,由上式可知，在r>1 m處,UP為負(fù)值；在r<1 m處,UP為正值。這個(gè)例題的結(jié)果再次表明

66、，在靜電場(chǎng)中只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差有絕對(duì)的意義，而各點(diǎn)的電勢(shì)值卻只有相對(duì)的意義。,電磁學(xué) (Electromagnetism),120,[例4] 均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電位。 方法一：用點(diǎn)電荷電位方法,,,r,,R,x,0,.,P,dl,,電磁學(xué) (Electromagnetism),121,由電位疊加原理得到，P點(diǎn)總電位等于各元段電位的總和。,電磁學(xué) (Electromagnetism),122,

67、方法二：用場(chǎng)強(qiáng)積分方法因?yàn)镻點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為 因此得到：,電磁學(xué) (Electromagnetism),123,電磁學(xué) (Electromagnetism),124,[例5] 均勻帶電球面，其半徑為R，電量為q,,A,R,C,B,O,,,,,,q,運(yùn)用Gauss theorem 得到:,球外一點(diǎn)A的電位：,電磁學(xué) (Electromagnetism),

68、125,球內(nèi)一點(diǎn)B的電位：,該例可以看到兩點(diǎn)：第一，對(duì)于球面外一點(diǎn)，相當(dāng)于把球面所有電荷集中在球心對(duì)該點(diǎn)產(chǎn)生的電位一樣；第二，對(duì)于球面內(nèi)一點(diǎn)，其中任一點(diǎn)與球面上的電位相等，故整個(gè)球面內(nèi)每點(diǎn)電位相等；其次，如果沿積分路徑不同的區(qū)域內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)關(guān)系不一樣，則應(yīng)分段進(jìn)行積分。,電磁學(xué) (Electromagnetism),126,何謂等位面？電場(chǎng)中電位相同的點(diǎn)組成的曲面叫做等位面。等位面有以下重要性質(zhì)：1﹑在等位面上任意兩點(diǎn)間移動(dòng)電荷，電