2.圓周天體問題

1、2007---2008高考復習,專題四:圓類,天體問題,一.命題趨向與考點,圓周運動的角速度、線速度、向心加速度和萬有引力、人造衛(wèi)星都是近年來高考的熱點，與實際應用和與生產(chǎn)、生活、科技聯(lián)系命題已經(jīng)成為一種命題的趨向.飛船、衛(wèi)星運行問題與物理知識（如萬有引力定律、勻速圓周運動、牛頓運動定律等）及地理知識有十分密切的相關(guān)性，以此為背景的高考命題立意高、情景新、綜合性強，對考生的理解能力、綜合分析能力、信息提煉處理能力及空間想象能力提出了極

2、高的要求，是新高考突出學科內(nèi)及跨學科間綜合創(chuàng)新能力考查的命題熱點，特別是神舟號的成功發(fā)射和回收，嫦娥1號的發(fā)射成功勞，更會結(jié)合萬有引力進行命題。,一.命題趨向與考點,1、重力場中的勻速圓周運動：明確天體運動的向心力是由萬有引力來提供的，常見問題如計算天體質(zhì)量和密度，星體表面及某一高度處的重力加速度和衛(wèi)星運行的變軌等。不同星球表面的力學規(guī)律相同，但g不同，解決該類問題應注意求解該星球表面的重力加速度。,2、豎直圓軌道的圓周運動：質(zhì)點在豎直

3、面內(nèi)的圓周運動的問題是牛頓定律與機械能守恒應用加小球通過最高點有極值限制的綜合題,解題的關(guān)鍵在于判斷不同約束條件下的速度臨界問題。,二.知識概要與方法,1.圓周運動的問題重點是向心力的來源和運動的規(guī)律,主要利用 F向=mV2/R=mω2R=m(4π2/T2) R求解.對于勻速圓周運動,合外力為向心力,利用F向=mV2/R, F切= 0求解.,(1)勻速圓周運動：,受力特征,,合外力大小不變，方向始終與速度垂直且指向圓心,運動特征,,速度

4、和加速度大小不變，方向時刻變化的變加速曲線運動,(2)非勻速圓周運動：,受力特征,,合外力大小和方向都在變,一方面提供圓周運動所需的向心力,另一方面提供切向分力以改變速度的大小,運動特征,,速度和加速度的大小及方向都在變化的變加速曲線運動,向心力來源,,2.處理圓周運動的方法和注意點 處理圓周運動的基本方法是牛頓運動定律與功能關(guān)系(動能定理、機械能守恒及能量守恒)的綜合運用，關(guān)鍵是確定圓心畫出圓軌跡，找出向心力。 （1）確定研究對

5、象運動的軌道平面和圓心的位置，以便確定向心力的方向；（2）向心力是根據(jù)效果命名的；（3）建立坐標系：應用牛頓第二定律解答圓周運動問題時，通常采用正交分解法，其坐標原點是做圓周運動的物體，相互垂直的兩個坐標軸中,一定要有一個軸的正方向沿著半徑指向圓心。,3．圓周運動的兩種臨界問題： 輕繩模型和輕桿模型。,（1）繩的模型:,如圖所示，沒有物體支承的小球，在豎直平面作圓周運動：最高點FT＋mg=mv2/R,最低點FT －mg=m

6、v2/R,①過最高點臨界條件：,繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用。由mg=mv2/R得,,注意：如果小球帶電,且空間存在電、磁場時，臨界條件應是小球所受重力、電場力和洛侖茲力的合力等于向心力，此時臨界速度,②能過最高點條件：v≥v臨界（當v>v臨界時繩、軌道對球分別產(chǎn)生拉力、壓力）,③不能過最高點條件：v<v臨界（實際上球還沒到最高點就脫離了軌道，脫離時繩、軌道和球之間的拉力、壓力為零）．,（2）桿的模型:,如圖所示的有

7、物體支承的小球，在豎直平面作圓周運動:最高點mg±FN=mv2/R,①當v=0時，N＝mg．（N為支持力，方向和指向圓心方向相反),,②當 0＜v＜ 時，N隨v增大而減小，且mg＞N＞0（N仍為支持力）,③當v＝ 時，N=0．,④當v＞ 時，N隨v增大而增大，且N＞0（N為拉力，方向指向圓心）,4．天體的運動研究思路及方法：,(1).基本方法：把天體運動近似看作圓周運動，它所需要的向心力由萬有引力提供，即

8、：,,(2).估算天體的質(zhì)量和密度,,由 得： ．即只要測出環(huán)繞星體M運轉(zhuǎn)的一顆衛(wèi)星運轉(zhuǎn)的半徑和周期，就可以計算出中心天體的質(zhì)量.,,,由 得： ． R為中心天體的星體半徑,特殊:當ｒ＝Ｒ時，即衛(wèi)星繞天體M表面運行時， 由此可以測量天體的密度.,(3)行星表面重力加速度、軌道重

9、力加速度問題,表面重力加速度g0,由,得：,軌道重力加速度g,由,,得：,,(４)衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系,,,(1)由 得: ．即軌道半徑越大，繞行速度越小,,,(2)由 得: ．即軌道半徑越大，繞行角速度越小,,,(3)由 得:

10、 ．即軌道半徑越大，繞行周期越大,(５)地球同步衛(wèi)星,所謂地球同步衛(wèi)星是指相對于地面靜止的人造衛(wèi)星，它的周期T＝24h．要使衛(wèi)星同步，同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方某一確定高度h．,由:,,得：,=3.6×104ｋｍ=5.6Ｒ,Ｒ表示地球半徑,對于人造衛(wèi)星運動應注意,(1)圓周運動的軌道問題,----圓軌道的圓心必過地心,(2)發(fā)射速度與運行環(huán)繞速度的區(qū)分,(3)同步衛(wèi)星與近地衛(wèi)星的區(qū)分,(4)人造

11、衛(wèi)星的圓周運動與地球自轉(zhuǎn)的圓周運動的區(qū)分,即:周期一定,高度一定,位置一定,三顆衛(wèi)星覆蓋赤道,,,,,,,r月地=3.84×108mt=1.28S,r地日=1.5×1011mt=500S,日,地,月,天體的有關(guān)數(shù)據(jù),,,,,,,,同步衛(wèi)星,近地衛(wèi)星,月球,重力場中的圓周運動問題,例1．長L的輕繩一端固定在O點，另一端拴一質(zhì)量為m的小球,現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)作圓周運動,小球通過最低點和最高點時所受的繩拉力分別為T1

12、和T2(速度分別為v0和v).求證：(1)T1－T2＝6mg　(2)v0≥,證明：(1)由牛頓第二定律，在最低點和最高點分別有：,T1－mg＝mv02/L?、佟2＋mg＝mv2/L?、?T1－T2＝2mg＋(m/L)(v02－v2)　　?、?由機械能守恒得：mv02/2＝mv2/2＋mg2L，,得：v02－v2＝4gL　　　 ④,由③、④兩式得：T1－T2＝6mg,(2)由②式知，由于繩拉力T2≥0，可得v≥,代入④式得：v0≥,,例

13、2、如圖所示，M為懸掛在豎直平面內(nèi)某一點的木質(zhì)小球，懸線長為L，質(zhì)量為m的子彈以水平速度V0射入球中而未射出，要使小球能在豎直平面內(nèi)運動，且懸線不發(fā)生松馳，求子彈初速度V0應滿足的條件。,解：,子彈擊中木球時，由動量守恒定律得： mV0=(m+M)V1,（1）若小球能做完整的圓周運動，則在最高點滿足：,由機械能守定律得：,由以上各式解得：,(2)若木球不能做完整的圓周運動，則上升的最大高度為L,此時滿足：,,,,,解得：,,所以，要使小

14、球在豎直平面內(nèi)做懸線不松馳的運動，V0應滿足的條件是：,,,或,拓展:,若該題中繩子可以松馳,則小球在到達最高點之前的某一位置以某一速度開始做斜向上拋運動。設小球運動到某一臨界位置C時，如圖所示，木塊所受的重力在繩子方向的分力恰好等于木塊做圓周運動所需要的向心力.此時繩子的拉力為零，繩子便開始松弛了.木塊就從這個位置開始，以此刻所具有的速度vc作斜上拋運動.,,在C點:(M+m)gcosθ=(M+m)VC2/L,½(M+m)V

15、12=(M+m)gL(1+cosθ)+½(M+m)VC2,,當θ=0時,,,;當θ=900時,,,即,,時,小球?qū)⒆鲂睊佭\動,2.天體(衛(wèi)星)運動類問題,例3.（04廣東廣西）某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。,

16、答：設所求的時間為t,用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量,r表示衛(wèi)星到地心的距離. 有,春分時，太陽光直射地球赤道，如圖所示，,圖中圓E表示赤道，S表示衛(wèi)星,A表示觀察者,O表示地心.,,由圖可看出當衛(wèi)星S繞地心O轉(zhuǎn)到圖示位置以后（設地球自轉(zhuǎn)是沿圖中逆時針方向），其正下方的觀察者將看不見它. 據(jù)此再考慮到對稱性，有,,,由以上各式可解得,正確的解法和結(jié)果是：,,得,,（2）方法一：對月球繞地球作圓周運動，由,,,,得,,方法二：在地面重力

17、近似等于萬有引力，由,,得,,例4.如圖所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運動的3顆衛(wèi)星，下列說法正確的是：A.b、c的線速度大小相等，且大于a的線速度；B.b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度；C.c加速可追上同一軌道上的b，b減速可等候同一軌道上的c；D.a衛(wèi)星由于某原因,軌道半徑緩慢減小,其線速度將增大.,b,解：,因為b、c在同一軌道上運行,故其線速度大小、加速度大小均相等.又b、c軌道半徑大于a的軌道

18、半徑,由,,知,Vb=Vc<Va,故A選項錯；由加速度a=GM/r2可知ab=ac<aa,故B選項錯。,當c加速時,c受到的萬有引力Fmv2/r,故它將偏離原軌道做向心運動.所以無論如何c也追不上b,,b也等不到c,故C選項錯.,對C選項，不能用,,來分析b、c軌道半徑的變化.,對a衛(wèi)星，當它的軌道半徑緩慢減小時，在轉(zhuǎn)動一段較短時間內(nèi)，可近似認為它的軌道半徑未變，視為穩(wěn)定運行，由,知，r減小時V逐漸增大，故D選項正確。,

19、例5. 2005年10月12日9時整，我國自行研制的“神舟六號”載人飛船順利升空，飛行115小時32分繞地球73圈于17日4時33分在內(nèi)蒙古主著陸場成功著陸，返回艙完好無損，宇航員費俊龍、聶海勝自主出艙，“神舟六號”載人航天飛行圓滿成功.飛船升空后,首先沿橢圓軌道運行，其近地點約為200公里，遠地點約為347公里。在繞地球飛行四圈后,地面發(fā)出指令，使飛船上的發(fā)動機在飛船到達遠地點時自動點火，實施變軌，提高了飛船的速度.使得飛船在距地面3

20、40公里的圓軌道上飛行。,（1）求在圓軌道上飛船的飛行速度v和 運行周期T(已知g0、R0),解:(1)由,和r=R0+h 得：,（2）如圖所示若已知飛船的質(zhì)量為M，飛船在Q點時通過發(fā)動機向后噴出一定質(zhì)量氣體使飛船速度增加而進入圓軌道，這時的運動速度大小v2 ，設噴出的氣體的速度為u，質(zhì)量為m，求：飛船在橢圓軌道上經(jīng)Q點的速度v1及橢圓軌道Q點處的重力加速度。,解析：由動量守恒得：,,得出：,,因為在Q點上的重力加速度由萬有引力提供，則

21、有：,,得出：,,,（3）飛船在圓軌道上運行時,需要進行多次軌道維持.軌道維持就是通過控制飛船上的發(fā)動機的點火時間和推力,使飛船能保持在同一軌道上穩(wěn)定運行.如果不進行軌道維持,飛船的軌道高度就會逐漸降低,在這種情況下,飛船的動能、重力勢能和機械能變化的關(guān)系應該是A．動能、重力勢能和機械能逐漸減小B．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大,機械能不變C．重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小,機械能不變D．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大,機械能逐

22、漸減小,(D),（4）飛船繞地球飛行73圈后于16日9時57分收到返回信號，5時58分發(fā)動機制動點火，假設點火通過噴氣使飛船做減速運動，飛船應向什么方向噴氣?,答:飛船應該向前進的方向噴氣，減少這一時刻的瞬時速度，使萬有引力大于所需要的向心力，飛船開始做向心運動，實施返回計劃。,（5）飛船在豎直向上發(fā)射升空階段、進入軌道繞地球做勻速圓周運動階段和返回地球豎直向下加速下降階段，兩名航天員分別處于什么狀態(tài)： A．超重、完全失重、失

23、重　　　　 B．超重、完全失重、超重 C．超重、失重、完全失重　　　　 D．失重、完全失重、超重,(A),3.綜合力作用下的圓周運動問題,例6．如圖所示，在傾角α=300的光滑斜面頂點處固定一原長L0=0.2m的輕質(zhì)彈簧，彈簧另一端與放在光滑斜面上質(zhì)量m=2Kg的物體C相連后，彈簧長度變?yōu)長1=0.25m.當斜面體連同物體C一起繞豎直軸AB轉(zhuǎn)動時，求：（1）轉(zhuǎn)速n=60轉(zhuǎn)/分時，彈簧的長度是多少？（2）

24、轉(zhuǎn)速為多少時，物體C對斜面恰好無壓力？,解:由題意知mgsinα=k(L1－L0),代入數(shù)據(jù)得:k=200N/m,,(1)對物體受力分析,Tcosα－Nsinα=mω2r, Tsinα+Ncosα=mg.設此時彈簧的長度為L,則T=k(L－L0),r=Lcosα,聯(lián)立以上各式得,(2)C對斜面無壓力時,即N=0,則T=mg/sinα,此時彈簧長度,,代入得,,例7.如圖所示，有一質(zhì)量為m的小球P與穿過光滑水平板上小孔O的輕繩相連，用手

25、拉著繩子另一端，使小球在水平板上繞O點做半徑為a、角速度為ω的勻速圓周運動.,求：（1）此時繩上的拉力有多大？,（2）若將繩子從此狀態(tài)迅速放松，后又拉直，使小球繞O做半徑為b的勻速圓周運動.從放松到拉直這段過程經(jīng)歷了多長時間？,（3）小球做半徑為b的勻速圓周運動時，繩子上的拉力又是多大？,解析:（1）繩子上的拉力提供小球做勻速圓周運動的向心力，故有：F=m?2a,（2）松手后繩子上的拉力消失，小球?qū)乃墒謺r的位置沿圓周的切線方向，在光滑

26、的水平面上做勻速直線運動.當繩在水平板上長為b時，繩又被拉緊.在這段勻速直線運動的過程中小球運動的距離為,s=,如圖所示,故t=s/v=,（3）將剛拉緊繩時的速度分解為沿繩子的分量和垂直于繩子的分量.在繩被拉緊的短暫過程中，球損失了沿繩的分速度，保留著垂直于繩的分速度做勻速圓周運動.被保留的速度的大小為： v1=va/b=?a2/b. 所以繩子后來的拉力為： F′=mv21/b=m?2a4/b3.,1. 火星有兩顆衛(wèi)星，

27、分別是火衛(wèi)一和火衛(wèi)二，它們的軌道近似為圓。已知火衛(wèi)一的周期為7小時39分?；鹦l(wèi)二的周期為30小時18分，則兩顆衛(wèi)星相比A.火衛(wèi)一距火星表面較近。B.火衛(wèi)二的角速度較大C.火衛(wèi)一的運動速度較大。D.火衛(wèi)二的向心加速度較大2. 若人造衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動，則下列說法正確的是 A.衛(wèi)星的軌道半徑越大，它的運行速度越大.B.衛(wèi)星的軌道半徑越大，它的運行速度越小C.衛(wèi)星的質(zhì)量一定時,軌道半徑越大,它需要的向心力越大D.衛(wèi)星的

28、質(zhì)量一定時,軌道半徑越大,它需要的向心力越小,AC,BD,,,,,3. 我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1,S1和S2的距離為r，已知引力常量為G。由此可求出S2的質(zhì)量為A． B． C．

29、 D．,D,,,B,5. 神舟五號載入飛船在繞地球飛行的第5圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萮=342km的圓形軌道。已知地球半徑R=6.37×103km，地面處的重力加速度g=10m/s2。試導出飛船在上述圓軌道上運行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后計算周期T的數(shù)值（保留兩位有效數(shù)字）。,解：設地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，速度為v，圓軌道的半徑為r，由萬有引力和牛頓第二定律，有,,,地面附近,,由已

30、知條件 r=R+h,解以上各式得,,代入數(shù)值，得 T=5.4×103s,6把火星和地球繞太陽運行的軌道視為圓周。由火星和地球繞太陽運動的周期之比可求得A．火星和地球的質(zhì)量之比B．火星和太陽的質(zhì)量之比C．火星和地球到太陽的距離之比D．火星和地球繞太陽運動速度之比,7某人造衛(wèi)星運動的軌道可近似看作是以地心為中心的圓．由于阻力作用，人造衛(wèi)星到地心的距離從r1慢慢變到r2，用EKl、EK2分別表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動

31、能，則(A) r1r2，EK1EK2　 　 (D) r1>r2，EK1>EK2,CD,（B）,8已知引力常量G．月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T。僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有　　A．月球的質(zhì)量B．地球的質(zhì)量C．地球的半徑D．月球繞地球運行速度的大小,(BD),9最近，科學家在望遠鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運行一周所用的時間為1200 年，它與該恒星的距離為

32、地球到太陽距離的100 倍。 假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有A．恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比 B．恒星密度與太陽密度之比C．行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比 D．行星運行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比,(AD),10已知地球質(zhì)量大約是月球質(zhì)量的81倍，地球半徑大約是月球半徑的4倍。不考慮地球．月球自轉(zhuǎn)的影響，由以上數(shù)據(jù)可推算出A．地球的平均密度與月球的平均密度之比約為9∶8

33、B．地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比約為9∶4C．靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比約為8∶9D．靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器線速度與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器線速度之比約為81∶4,(C),11. 土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”,組成環(huán)的顆粒是大小不等.線度從1μm到10m的巖石.塵埃，類似于衛(wèi)星,它們與土星中心的距離從7.3×104km延伸到1.4

34、15;105km.已知環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運動的周期約為14h,引力常量為6.67×10-11N?m2/kg2,則土星的質(zhì)量約為（估算時不考慮環(huán)中顆粒間的相互作用）Ａ．9.0×1016kg　　?。拢?.4×1017kg　　　　Ｃ．9.0×1025kg　　?。模?.4×1026kg,(D),12. 對如圖所示的皮帶傳動裝置，下列說法中正確的是 (A)A輪帶動B輪沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)．