高等代數簡介doc

1、高等代數簡介高等代數簡介一、高等代數的教學目的及重要性代數學是以代數結構作為研究對象的一門學科。所謂代數結構就是指帶有一個或多個代數運算并且滿足一定運算規(guī)則的非空集合。高等代數是代數學的基礎部分是高等學校數學學院的學生的一門專業(yè)基礎課程，它既是中學代數的繼續(xù)和提高，也是數學各分支的基礎和工具。高等代數這門課程概念多理論性強內容抽象充分體現了數學的嚴密邏輯性、高度抽象性、廣泛應用性等特征。通過該課程的學習可逐漸培養(yǎng)和訓練學生的抽象思維能力

2、、邏輯推理能力和空間想象能力，提高學生的數學素質。隨著科學技術的進步特別是計算機技術的迅速發(fā)展與普及代數學在信息科學、計算機科學和物理學等許多領域都有著非常廣泛的應用。高等代數作為數學學院各專業(yè)的重要基礎課學習的好壞直接關系到多門后續(xù)課程的學習同時又關系到學生以后從事科學與技術研究的基本功。二、高等代數簡要發(fā)展史代數學是一門古老的數學學科，最簡單的代數運算—正整數和有理數的算術運算及這些運算的代數性質在古代就知道了，1718世紀“代數學

3、”被理解為在代數符合上進行運算的科學，即對由字母組成的公式的“恒等”變換、解代數方程等，到18世紀中葉，代數學或多或少地相當于現在的“初等代數”。18世紀和19世紀的代數學處理的主要內容是多項式。歷史上，首要的問題是求解一個未知數的代數方程即求解下述類型的方程1010nnnaxaxa??????其目的是推導出由方程的系數經加、減、乘、除及開方所構成的公式來表示方程的根。事實上，人們很早就已經知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。16世

4、紀意大利數學家發(fā)現了解三次方程和四次方程的求解公式。這就很自然地促使數學家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的求解公式。遺憾的是這個問題雖然耗費了許多數學家大量的時間和精力，但一直持續(xù)了長達三個多世紀都沒有解決。同時，這個時期對于任意復系數代數方程的復根的存在性就成為數學家的主要興趣，在18世紀和19世紀交替的時候，德國數學家高斯證明了代數方程有解存在的基本定理即代數基本定理。到了19世紀初挪威青年數學家阿貝爾證明了五次或五次以上的

5、方程一般不能用根式求解即這些方程的根不能用方程的系數通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數運算表示出來。19世紀初30年代，法國一位青年數學家伽羅華對代數方程使用根式求解的可能性給出了一個一般性的判別法，使高次代數方程求解問題得到徹底解決。到19世紀中葉和后半世紀，伽羅華的研究成果的的矩陣表示在方法上主要是利用線性變換與矩陣的對應關系和相互轉換。高等代數的另一部分是多項式代數，多項式代數是以探討代數方程的根的存在性作為中心問題的。多項式

6、代數所研究的內容包括整除性理論、最大公因式、重因式等。研究多項式代數主要在于探討代數方程的性質。我們知道關于二次、三次和四次方程有公式解，而對于五次或五次以上的高次方程不存在公式解。事實上，不能給出高次方程的公式解，并不影響多項式代數的研究和發(fā)展。即使對于三次和四次方程來說，這種公式雖然存在，但是非常麻煩而且?guī)缀跏菦]有什么實際用途的。另一方面，在解決物理和工程問題時，所得出的這些方程的系數，常常是從測量的結果得出來的數值，只是一些近似值

7、，所以我們只需要在已知準確度內給出根的近似值。因此，多項式的中心問題不是具體的來求出方程的根，而是關于根的存在性。我們知道實系數二次方程不一定有實根存在。但把數擴大到全部復數，我們就能得到任何實系數二次方程的根。那么，是否有這樣的高次方程存在，它并沒有一個復數根，或者為了求出它的根，必須把復數擴大到更大的一類數？代數基本定理回答了這個問題。這個定理給出了每一個方程，不管它的系數是實數還是復數，都有復根存在，而且根的個數和方程的次數相等。

8、上面我們簡略的描繪了高等代數的主要內容。事實上高等代數只是內容豐富，分支很多的代數學的開端。高等代數范圍以外的代數分支很多，比如群、環(huán)、域、格等，而且應用非常廣泛，代數學的概念、思想和方法廣泛應用于數論、泛函分析、微分方程理論、幾何學、張量代數及其它數學學科中。除了在數學學科中的基本作用外，代數學在物理學、控制論、數理經濟學等都有重要應用。無可否認，代數學的輝煌發(fā)展，達到今天的成就，決不是偶然的現象，它是數學總的發(fā)展的一部分，一方面，代