《高等代數(shù)》知識點(diǎn)梳理

1、Stephen 高等代數(shù)知識點(diǎn)梳理 高等代數(shù)知識點(diǎn)梳理 第四章 第四章 矩陣 矩陣 一、矩陣及其運(yùn)算 一、矩陣及其運(yùn)算 1、矩陣的概念 矩陣的概念 （1）定義：由 n s × 個數(shù) ij a （ s i ? , 2 , 1 = ； n j ? , 2 , 1 = ）排成 s 行 n 列的數(shù)表? ? ???? ? ???sn sna aa a?? ? ??11 11，稱為 s 行 n 列矩陣，簡記為 n s ij a A 

2、15; = ) ( 。 （2）矩陣的相等：設(shè) n m ij a A × = ) ( ， k l ij a B × = ) ( ，如果 l m = ， k n = ，且 ij ij b a = ，對m i ? , 2 , 1 = ； n j ? , 2 , 1 = 都成立，則稱 A 與 B 相等，記 B A = 。 （3）各種特殊矩陣：行矩陣，列矩陣，零矩陣，方陣， （上）下三角矩陣，對角矩陣，數(shù)量矩陣，單位矩陣。 2

3、、矩陣的運(yùn)算 矩陣的運(yùn)算 （1）矩陣的加法：? ? ???? ? ???+ ++ += ? ? ???? ? ???+ ? ? ???? ? ???sn sn s sn nsn snsn snb a b ab a b ab bb ba aa a?? ? ???? ? ???? ? ??1 11 1 11 1111 1111 11。 運(yùn)算規(guī)律： ① A B B A + = +② ) ( ) ( C B A C B A + + = + +③

4、 A O A = +④ O A A = ? + ) (（2）數(shù)與矩陣的乘法：? ? ???? ? ???= ? ? ???? ? ???sn snsn snka kaka kaa aa ak?? ? ???? ? ??11 1111 11運(yùn)算規(guī)律： ① lA kA A l k + = + ) (② kB kA B A k + = + ) (③ A kl lA k ) ( ) ( =④ O A A = ? + ) (（ 3 ） 矩 陣 的

5、 乘 法 ：? ? ???? ? ???= ? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???sm smnm nmsn snc cc cb bb ba aa a?? ? ???? ? ???? ? ??11 1111 1111 11其 中- 1 - Stephen ? ? ???? ? ???=nn nnA AA AA?? ? ??11 11* 稱為 A 的伴隨矩陣。 1、基本性質(zhì) 、基本性質(zhì) （1）矩陣 A 可逆的充分必要條件是

6、 A 非退化（ 0 | | ≠ A ） ，而 | |* 1 AA A = ?（2） 如果矩陣 A ， B 可逆， 那么 ' A 與 AB 也可逆， 且 )' ( ) ' ( 1 1 ? ? = A A ， 1 1 1 ) ( ? ? ? = A B AB 。（3）設(shè) A 是 n s × 矩陣，如果 P 是 s s × 可逆矩陣， Q 是 n n× 可逆矩陣，那么) ( ) ( ) (

7、 AQ rank PA rank A rank = =三、矩陣分塊 三、矩陣分塊 對于兩個有相同分塊的準(zhǔn)對角矩陣? ? ???? ? ???=l AAA00 1 ? ，? ? ???? ? ???=l BBB00 1 ? 如果它們相應(yīng)的分塊是同級的，則 （1）? ? ???? ? ???=l lB AB AAB00 1 1 ? ； （2）? ? ???? ? ???++= +l l B AB AB A00 1 1 ? ； （3） | |

8、 | || | | | 2 1 l A A A A ? = ； （4） A 可逆的充要條件是 l A A A , , , 2 1 ? 可逆，且此時，? ? ? ???? ? ? ???=???111100l AAA ? 。 四、初等變換與初等矩陣 四、初等變換與初等矩陣 1、基本概念 基本概念 （1）初等變換：初等行列變換稱為初等變換所得到的矩陣。 ①用一個非零的數(shù) k 乘矩陣的第i 行（列）記作 ) ( k c k r i i